Question

Determina los valores críticos de la función, la naturaleza de dichos puntos y efectúa gráfica de la función localizando el vértice (a, b, c) de la figura. f(x,y)=x^2+y^2-2x-6y+14

Answer 1

El único punto crítico es (1;3;4), el cual es un mínimo absoluto y en efecto es el vértice del paraboloide elíptico.

Explicación paso a paso:

Los puntos críticos de la función son los puntos donde las derivadas parciales se anulan, pueden ser extremos o puntos de ensilladura. Las derivadas parciales son:

$f'_x=2x-2\\\\f'_y=2y-6$

Igualándolas a 0 vemos que ambas se hacen cero en el punto (1;3). Para determinar la naturaleza del punto recurrimos a la matriz hessiana, que se compone de las derivadas parciales segundas:

$H=\left[\begin{array}{cc}f''_{xx}&f''_{xy}\\f''_{yx}&f''_{yy}\end{array}\right]$

Reemplazamos por las derivadas y queda:

$H=\left[\begin{array}{cc}2&0\\0&2\end{array}\right]$

Si el determinante de esta matriz es positivo, se trata de un extremo, en efecto es |H|=4. Y como es $f''_{xx}>0$ se trata de un mínimo. En efecto es el vértice del paraboloide elíptico en (1;3;4)