Question

Determina las coordenadas del punto de división P(x,y) cuyos puntos extremos son A(-3,-8) y B(9,4) en la razón r=1/2

Answer 1

【Rpta.】El par ordenado que divide al segmento AB en 1/2 es: (1 , -4).

                                 $\green{{\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Procedimiento}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}}$

Recordemos que, la relación "r" que divide un punto P a un segmento AB, está definido como:

                           ${}_{\boldsymbol{\mathsf{A}}} \overbrace{\dfrac{\hspace{1cm}}{~}}^{\mathsf{L_1}}{}_{\boldsymbol{\mathsf{P}}}\overbrace{\dfrac{\hspace{3cm}}{~}}^{\mathsf{L_2}}{}_{\boldsymbol{\mathsf{B}}}\:\:\:\:\Rightarrow \:\:\:\boxed{\mathsf{r = \dfrac{L_1}{L_2}}}$

Y si conocemos los pares ordenados de A(a,b) y B(m,n) entonces P(x,y) podemos expresarlo como:

                                    $\boxed{\boldsymbol{\mathsf{(x,y)=\left(\dfrac{a + m(r)}{1+r},\dfrac{b + n(r)}{1+r}\right)}}}$

Ya conociendo esto extraigamos los datos del enunciado

           $\begin{array}{cccccccccccccccccc}\blacktriangleright \:\: \mathsf{A =(\underbrace{-3}_{\boldsymbol{\mathsf{a}}},\overbrace{-8}^{\boldsymbol{\mathsf{b}}})} &&&& \blacktriangleright \:\: \mathsf{B =(\underbrace{9}_{\boldsymbol{\mathsf{m}}},\overbrace{4}^{\boldsymbol{\mathsf{n}}})} &&&& \blacktriangleright \:\: \mathsf{r =\dfrac{1}{2}}\end{array}$

Entonces el punto P(x,y) que divide a los puntos "A" y "B" en 1/2 es:

                              $\begin{array}{c}\mathsf{(x,y)=\left(\dfrac{a + m(r)}{1+r},\dfrac{b + n(r)}{1+r}\right)}\\\\\\\mathsf{(x,y)=\left(\dfrac{-3 + (9)\left(\dfrac{1}{2}\right)}{1+\left(\dfrac{1}{2}\right)},\dfrac{-8 + (4)\left(\dfrac{1}{2}\right)}{1+\left(\dfrac{1}{2}\right)}\right)}\end{array}$

                                       $\begin{array}{c}\mathsf{(x,y)=\left(\dfrac{-3 + \dfrac{9}{2}}{\dfrac{3}{2}},\dfrac{-8 + 2}{\dfrac{3}{2}}\right)}\\\\\mathsf{(x,y)=\left(\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{3}{2}},\dfrac{-6}{\dfrac{3}{2}}\right)}\\\\\\\mathsf{(x,y)=\left(\dfrac{(3)(2)}{(2)(3)},\dfrac{(-6)(2)}{(1)(3)}\right)}\\\\\\\mathsf{(x,y)=\left(\dfrac{6}{6},\dfrac{-12}{3}\right)}\\\\\\\mathsf{\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{(x,y)=(1,-4)}}}}}\end{array}$

                                            $\boxed{\sf{{R}}\quad\raisebox{10pt}{ \sf{\red{O}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{\red{O}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{{G}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{{G}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{\red{H}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{\red{H}} }\quad\raisebox{10pt}{ \sf{{E}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{{E}} }\quad\sf{\red{R}}}\hspace{-64.5pt}\rule{10pt}{.2ex}\:\rule{3pt}{1ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{2ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{1ex}\:\rule{10pt}{.2ex}$