Question

Determina las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y

menor, la excentricidad y la longitud de cada uno de los lados rectos de las siguientes

elipses; traza la grafica correspondiente.

a) 4x2 + 9y^2 = 36

b) x^2/4 + y^2/25 = 1

Answer 1

Respuesta:

Hola! Para conocer los datos que te piden, ocupamos tener la ecuación de la elipse en formato ecuación canónica. Y puede ser de las siguientes formas:

$\frac{(x-h)^2}{a^2} +\frac{(y-k)^2}{b^2} =1--->Horizontal\\\\\frac{(x-h)^2}{b^2} +\frac{(y-k)^2}{a^2} =1--->Vertical\\\\a>b$

*Donde a es la medida del semieje mayor; b la medida del semieje menor; y (h,k) las coordenadas del centro.

Para los vértices:

*Si la elipse es Horizontal, los vértices tienen las coordenadas:

V(h+a,k)

V'(h-a,k)

*Si la elipse es Vertical, los vértices tienen las coordenadas:

V(h,k+a)

V'(h,k-a)

Para los focos:

Calculamos el valor de c:

$a^2=b^2+c^2\\\\c=\sqrt{a^2-b^2}$

*Si la elipse es Horizontal, los focos tienen las coordenadas:

V(h+c,k)

V'(h-c,k)

*Si la elipse es Vertical, los focos tienen las coordenadas:

F(h,k+c)

F'(h,k-c)

El eje mayor mide : 2a

El eje menor mide: 2b

La excentricidad se equivale a : e= c/a

La longitud de los lados rectos mide: LR=2(b^2)/a

Con todo esto, tus ejercicios quedarían así:

a)

$4x^2+9y^2=36\\\\\frac{4}{36}x^2 +\frac{9}{36}y^2 =\frac{36}{36} \\\\\frac{x^2}{9} +\frac{y^2}{4}=1 \\\\\frac{(x-0)^2}{9} +\frac{(y-0)^2}{4}=1$

Centro(0,0)

a=3

b=2

∴ Horizontal

*Vértices:

V(0+3,0)--->V(3,0)

V'(0-3,0)--->V'(-3,0)

*Focos:

c=√(9-4)=√5

F(0+√5,0)--->F(√5,0)

F'(0-√5,0)--->F'(-√5,0)

*El eje mayor mide : 2(3)=6

*El eje menor mide: 2(2)=4

*La excentricidad se equivale a : e= (√5)/3

*La longitud de los lados rectos mide: LR=2(2^2)/3=8/3

b)

$\frac{x^2}{4} +\frac{y^2}{25} =1\\\\\frac{(x-0)^2}{4} +\frac{(y-0)^2}{25} =1$

Centro(0,0)

a=5

b=2

∴ Vertical.

*Vértices:

V(0,0+5)--->V(0,5)

V'(0,0-5)--->V'(0,-5)

*Focos:

c=√(25-4)=√21

F(0,0+√21)--->F(0,√21)

F'(0,0-√21)--->F'(0,-√21)

*El eje mayor mide : 2(5)=10

*El eje menor mide: 2(2)=4

*La excentricidad se equivale a : e= (√21)/5

*La longitud de los lados rectos mide: LR=2(2^2)/5=8/5

¡Espero haber alcanzado a ayudarte! estas preguntas me las recomienda la página una poco tarde, disculpa. ¡Saludos y éxito!