Question

Determina la razon r en la que el punto P(8,8) divide al segmento de recta de extremos A(-4,2) y B(4, 6)​

Answer 1

【Rpta.】La razón es -3.

                                 ${\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Procedimiento}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}$

Recordemos que, la relación "r" que divide un punto P a un segmento AB, está definido como:

                           ${}_{\boldsymbol{\mathsf{A}}} \overbrace{\dfrac{\hspace{1cm}}{~}}^{\mathsf{L_1}}{}_{\boldsymbol{\mathsf{P}}}\overbrace{\dfrac{\hspace{3cm}}{~}}^{\mathsf{L_2}}{}_{\boldsymbol{\mathsf{B}}}\:\:\:\:\Rightarrow \:\:\:\boxed{\mathsf{r = \dfrac{L_1}{L_2}}}$

Y si conocemos los pares ordenados de A(a,b) y B(m,n) entonces P(x,y) podemos expresarlo como:

                                   $\boxed{\boldsymbol{\mathsf{(x,y)=\left(\dfrac{a + m(r)}{1+r},\dfrac{b + n(r)}{1+r}\right)}}}$

Ya conociendo esto extraigamos los datos del enunciado

                      $\blacktriangleright \:\: \mathsf{A =(\underbrace{-4}_{\boldsymbol{\mathsf{a}}},\overbrace{2}^{\boldsymbol{\mathsf{b}}})}$                       $\blacktriangleright \:\: \mathsf{B =(\underbrace{4}_{\boldsymbol{\mathsf{m}}},\overbrace{6}^{\boldsymbol{\mathsf{n}}})}$              

                                                $\blacktriangleright \:\: \mathsf{P =(\underbrace{8}_{\boldsymbol{\mathsf{x}}},\overbrace{8}^{\boldsymbol{\mathsf{y}}})}$                                            

Reemplazamos estos valores en la fórmula anterior:

                                       $\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:(x,y)=\left(\dfrac{a + m(r)}{1+r},\dfrac{b + n(r)}{1+r}\right)}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:(8,8)=\left(\dfrac{(-4) + 4(r)}{1+r},\dfrac{2 + 6(r)}{1+r}\right)}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:(8,8)=\left(\dfrac{-4 + 4r}{1+r},\dfrac{2 + 6r}{1+r}\right)}$

De la igualdad de los pares ordenados tenemos que:

                ✔  En las abscisas                               ✔  En las ordenadas

                          $\mathsf{\:\:\:\:\:\:8 = \dfrac{-4 + 4r}{1+r}}\\\\\mathsf{8(1+r) = -4 + 4r}\\\\\mathsf{\:8+8r = -4 + 4r}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:4r = -12}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{r = -3}}}}}$                            $\mathsf{\:\:\:\:\:\:8 = \dfrac{2 + 6r}{1+r}}\\\\\mathsf{8(1+r) = 2 + 6r}\\\\\mathsf{\:8+8r = 2 + 6r}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:2r = -6}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{r = -3}}}}}$

⚠ El resultado negativo podemos traducirlo como que el punto P no divide al segmento de recta formado por A y B, se puede comprobar esto en la gráfica.

                                             $\mathsf{\mathsf{\above 3pt \phantom{aa}\overset{\displaystyle \fbox{I\kern-3pt R}}{}\hspace{2 pt}\fbox{C\kern-6.8pt O}\hspace{2 pt}\overset{\displaystyle\fbox{C\kern-6.5pt G}}{} \hspace{2 pt} \fbox{I\kern-3pt H} \hspace{2pt}\overset{\displaystyle\fbox{I\kern-3pt E}}{} \hspace{2pt} \fbox{I\kern-3pt R} \phantom{aa}} \above 3pt}$