Question

Determina la profundidad de un pozo sobre el que se deja caer una piedra, y en el que se escucha el impacto sobre el agua después de transcurridos 1.5 s, teniendo en cuenta que la velocidad del sonido es 340 m/s.

Con procedimiento​

Answer 1

Explicación:

Aquí hay dos procesos (ver imagen adjunta):

Primero, la piedra cae desde el suelo al fondo del pozo.

Segundo, el sonido del impacto va desde el fondo del pozo hasta el suelo.

Primero, la piedra cae desde el suelo al fondo del pozo sin velociad inicial. Estamos ante un MRUA, es decir, un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Ponemos la ecuación general de un MRUA:

$y_f=y_i+v_i t + \frac{1}{2}at^2$

Y ahora identificamos cada una de las variables:

• $y_f$: Es la posición final, a la que hemos puesto $y_f=0~m$

• $y_i$: Es la posición inicial, que se corresponde con la altura h del pozo.
• $v_i$: Es la velocidad inicial de la piedra. En nuestro caso: $v_i = 0 ~m/s$
• $a$: Es la aceleración de la piedra. Es la de la gravedad: $a=-g$ (Signo negativo porque la aceleración va hacia abajo)
• $t$: Tiempo que tarda la piedra en alcanzar el fondo del pozo. La vamos a llamar $t_{caida}$

Sustituimos en la ecuación:

$0=h-\frac{1}{2}gt^2_{caida}$

Pasando la $h$ a la izquierda:

$\boxed{h=\frac{1}{2}gt^2_{caida}}$

Segundo, el sonido del impacto va desde el fondo del pozo hasta el suelo. El sonido describe un MRU, esto es, un movimiento rectilíneo uniforme, ya que el sonido no sufre ninguna aceleración.

Ponemos la ecuación general de un MRU:

$y_f=y_i+v t$

Ahora, identificamos cada una de las variables:

Donde:

• $y_f$: Es la posición final, que es el suelo: $y_f=h$

• $y_i$: Es la posición inicial, que es el fondo del pozo:$y_i=0~m$
• $v$: Es la velocidad del sonido. La llamaremos  $v_{sonido}$
• $t$: Tiempo que tarda el sonido en ir desde el fondo del pozo al suelo. Le vamos a llamar $t_{subida}$

Sustituímos esto en nuestra ecuación:

$\boxed{h=v_{sonido} \cdot t_{subida}}$

Tercero: Nos dan el tiempo que tarda en oírse el sonido desde que tiramos la piedra, es decir, el tiempo total. El tiempo total es la suma del tiempo que tarda la piedra en ir desde el suelo hata el fondo del pozo más el tiempo que tarda el sonido en ir desde el fondo del pozo hasta el suelo:

$\boxed{t_{total}=t_{caida}+t_{subida}}$

Cuarto: Operamos

Recordemos las dos ecuaciones que teníamos:

$\left\lbrace\begin{array}{c} h=\frac{1}{2}gt^2_{caida} \\ h= v_{sonido}t_{subida} \end{array}\right. \rightarrow \boxed{\frac{1}{2}gt^2_{caida} = v_{sonido}t_{subida}}$

Entonces, con estas dos ecuaciones, vamos a sacar h :

$\left\lbrace\begin{array}{c} \frac{1}{2}gt^2_{caida} = v_{sonido}t_{subida} \\ t_{total}=t_{caida}+t_{subida} \end{array}\right.$

Podemos, por ejemplo, despejar $t_{subida}$ de la segunda ecuación:$t_{subida}=t_{total}-t_{caida}$

Y substituír este valor en la primera ecuación:

$\frac{1}{2}gt^2_{caida} = v_{sonido} \left( t_{total}-t_{caida}\right)$

Para hacerlo más fácil, podemos sustituir ya los valores:

$\frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot t^2_{caida} = 340 \cdot \left( 1,5-t_{caida}\right)$

Operamos:

$4,9 \cdot t^2_{caida} = 510-340 \cdot t_{caida}$

Igualamos a cero:

$4,9 \cdot t^2_{caida}+340 \cdot t_{caida} - 510=0$

Es una ecuación de segundo orden:

$t_{caida}= \frac{-340 \pm \sqrt{340^2-4 \cdot 4,9 \cdot (-510)}}{2 \cdot 4,9} = 1,47~s$

(solo la solución positiva tiene sentido físico).

A continuación, sustituímos este valor en la ecuación que habíamos obtenido:

$h=\frac{1}{2}gt^2_{caida} = \frac{1}{2} 9,8 ~m/s^2 ~ (1,47~s)^2 = 10,57~m$

Respuesta: $\boxed{h=10,57~m}$