Determina la longitud del arco de la curva y=x^2, en el intervalo [2,4]
Respuestas a la pregunta
Determina la longitud del arco de la curva y = x², en el intervalo [2 ; 4]
Respuesta:
12,17
Explicación paso a paso:
Lo primero que realizamos es un esquema grafico y así podemos intuitivamente encontrar el resultado aproximado.
Sabemos que la longitud de un arco la podemos hallar como:
L = ∫ₐᵇ √1 + [f'(x)]² dx
f(x) = y = x² ⇒
dy = (x²)'dx ⇒
dy = 2xdx ⇒ dy/dx = 2x = f'(x)
L = ∫₂⁴ √1 + (2x)² dx
L = ∫₂⁴ √1 + 4x² dx
Para resolver primero calculo la Integral indefinida: ∫√1 + 4x² dx
Primitiva F(x) = Arcsen(2x)/4 + (x√1 + 4x²)/2 ⇒
∫₂⁴√1 + 4x² dx = Arcsen(2x)/4 + (x√1 + 4x²)/2 ║₂⁴ =
[Arcsen(2×4)]/4 + [4√1 + 4(4)²]/2 -[[Arcsen(2×2)]/4 + [2√1 + 4(2)²]/2 =
Arcsen(8)/4 + 8√65/4 - [Arcsen(4)/4 + 4√17/4 =
Arcsen(8)/4 - Arcsen(4)/4 + 8√65/4 - 4√17/4
Sabemos que Arcsen(x) = Ln(x + √x² + 1)
Arcsen(8) = Ln(8 + √8² + 1 = Ln(√65 + 8) = 2,7765
Arcsen(4) = Ln(4 + √4² + 1 = Ln(√17 + 4) = 2,0947
⇒ 2,7765 - 2,0947 + 8√65 - 4√17/4 =
48,6874/4 = 12,172 ⇒
Longitud del Arco de la Curva = 12,17
Podemos observar en la grafico que el resultado es aproximado.
Las primitivas e igualdades se pueden hallar mediante métodos complejos que es mejor realizarlos en calculadoras de integrales.
Dejo archivo adjunto con esquema grafico.
Saludos!!!
