Determina la Ecuación Ordinaria de la Elipse de Centro en (2,-3), un Foco F(-1,-3) y semieje menor igual a 4 unidades.
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Se trata evidentemente de una elipse con centro fuera del origen y por las coordenadas del foco es una elipse horizontal. Los tres datos más importantes de una elipse son conocer los valores del 1) Centro. 2) Vértices y si es horizontal o Vertical.El centro esta fuera del origen con las siguientes coordenadas:C = (2, -3) como el centro se denomina como h, k por lo tanto:h = 2 k = -3La distancia de un foco al centro de los ejes auxiliares es 3, por lo tanto:c = 3El semieje menor es = 4 unidades, este se calcula con la siguiente fórmula2b = Semieje menor: 2b = 4 Despejamos b y el 2 que esta multiplicando pasa a dividir b = 4 = 2 2por lo tanto b = 2Para obtener el valor de a, empleamos el teorema de pitagorasa² = c² + b²a² = 3² + 2²a² = 9 + 4 = 13a = √13 = 3.605 o lo dejamos en 3.6, dependiendo de las décimas que te pidan.La ecuación canónica u ordinaria de la elipse es asi: (x - h)² + (y - k)² = 1 a² b²Por comparación de los valores a, b, h y k que obtuvimos, la ecuación es:
(x - 2)² + (y + 3)² = 1
13 4
a partir de aquí se pasa a la fórmula general:
4 (x - 2)² + 13 (y + 3)² = 52 Igualas a cero NOTA: (4 por 13 = 52)
4 (x - 2)² + 13 (y + 3)² - 52 = 0 Desarrollas los binomios al cuadrado
4 (x² - 4x + 4) + 13 (y² + 6y + 9) - 52 = 0 Aplicar la propiedad distributiva y la ley de los signos en la multiplicación en cada caso
4x² - 16x + 16 + 13y² + 78y + 117 - 52 = 0
Acomodas de acuerdo a la ecuación de las cónicas que es:
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 NOTA: F representa todos los números que no tienen variable o letra
4x² + 13y² - 16x + 78y + 16 + 117 - 52 = 0 (16 + 117 - 52 = 0)
(133 - 52 = 0)
(81 = 0)
4x² + 13y² - 16x + 78y + 81 = 0 Ecuación general.
Otros datos:
Lados rectos:
LR = 2b²
a
LR = 2(2)²
√13
LR = 2(4)
√13
LR = 8 = 2.218 Por lo tanto tu recta focal abrira 1.109.
√13
Excentricidad: e = c = 3
a √13
Longitud del semieje mayor. 2a = 2(√13) = 7.211
Longitud del semieje menor. 2b = 2(2) = 4
Longitud del eje focal. 2c = 2(3) = 6
Coordenadas:
Vértices
V₁ (h + a, k) V₂ (h - a, k)
(2 +√13, -3) (2 - √13, -3)
V₁ (5.6, - 3) V₂ (-1.6, -3)
Focos:
F₁ (h + c, k) F₂ (h - c, k)
(2 + 3, -3) (2 - 3, -3)
F₁ (5, -3) F₂ (-1, -3)
Vértices del semieje menor.
B₁ (h, k + b) B₂ (h, k - b)
(2, -3 + 2) B₂ (2, -3 - 2)
B₁ (2, -1) B₂ (2, - 5)
Si lo gráficas podrás darte cuenta que los valores son los mismos.
¿Como obtener el valor de √13 en una recta, para poder ubicarla en tu gráfica de este ejercicio?
2 I. I
1 I I
I________I__I____
1 2 3 √13 = 3.605
Trazas una diagonal del 3 hacia el 2 y obtendrás una hipotenusa. abres tu compás con la medida de la hipotenusa y marcas en tu linea horizontal (o de la x) y ese es el valor de √13
(x - 2)² + (y + 3)² = 1
13 4
a partir de aquí se pasa a la fórmula general:
4 (x - 2)² + 13 (y + 3)² = 52 Igualas a cero NOTA: (4 por 13 = 52)
4 (x - 2)² + 13 (y + 3)² - 52 = 0 Desarrollas los binomios al cuadrado
4 (x² - 4x + 4) + 13 (y² + 6y + 9) - 52 = 0 Aplicar la propiedad distributiva y la ley de los signos en la multiplicación en cada caso
4x² - 16x + 16 + 13y² + 78y + 117 - 52 = 0
Acomodas de acuerdo a la ecuación de las cónicas que es:
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 NOTA: F representa todos los números que no tienen variable o letra
4x² + 13y² - 16x + 78y + 16 + 117 - 52 = 0 (16 + 117 - 52 = 0)
(133 - 52 = 0)
(81 = 0)
4x² + 13y² - 16x + 78y + 81 = 0 Ecuación general.
Otros datos:
Lados rectos:
LR = 2b²
a
LR = 2(2)²
√13
LR = 2(4)
√13
LR = 8 = 2.218 Por lo tanto tu recta focal abrira 1.109.
√13
Excentricidad: e = c = 3
a √13
Longitud del semieje mayor. 2a = 2(√13) = 7.211
Longitud del semieje menor. 2b = 2(2) = 4
Longitud del eje focal. 2c = 2(3) = 6
Coordenadas:
Vértices
V₁ (h + a, k) V₂ (h - a, k)
(2 +√13, -3) (2 - √13, -3)
V₁ (5.6, - 3) V₂ (-1.6, -3)
Focos:
F₁ (h + c, k) F₂ (h - c, k)
(2 + 3, -3) (2 - 3, -3)
F₁ (5, -3) F₂ (-1, -3)
Vértices del semieje menor.
B₁ (h, k + b) B₂ (h, k - b)
(2, -3 + 2) B₂ (2, -3 - 2)
B₁ (2, -1) B₂ (2, - 5)
Si lo gráficas podrás darte cuenta que los valores son los mismos.
¿Como obtener el valor de √13 en una recta, para poder ubicarla en tu gráfica de este ejercicio?
2 I. I
1 I I
I________I__I____
1 2 3 √13 = 3.605
Trazas una diagonal del 3 hacia el 2 y obtendrás una hipotenusa. abres tu compás con la medida de la hipotenusa y marcas en tu linea horizontal (o de la x) y ese es el valor de √13
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