Determina la ecuación ordinaria de la circunferencia que pasa por el punto (10,2) y es tangente a la recta x + y=3 en el punto (4,-1)
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La forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia es:
(x - h)² + (y - k)² = r²
(h, k) son las coordenadas del centro y r es el radio
1) Pasa por (10, 2)
(10 - h)² + (2 - k)² ) = r²
2) Pasa por (4, - 1)
(4 - h)² + (- 1 - k)² = r²
3) La distancia del centro a la recta x + y - 3 = 0 es el radio:
r = (h + k - 3) / √2; o bien 2 r² = (h + k - 3)²
Tenemos 3 ecuaciones con 3 incógnitas. La solución es muy laboriosa.
Utilizando un procesador matemático (Derive 5) se obtienen los siguientes valores.
h = 13/2; k = 3/2; r = 5 √2/2
La ecuación es entonces:
(x - 13/2)² + (y - 3/2)² = 25/2
Adjunto gráfico con la circunferencia, la recta y los dos puntos.
Saludos Herminio
(x - h)² + (y - k)² = r²
(h, k) son las coordenadas del centro y r es el radio
1) Pasa por (10, 2)
(10 - h)² + (2 - k)² ) = r²
2) Pasa por (4, - 1)
(4 - h)² + (- 1 - k)² = r²
3) La distancia del centro a la recta x + y - 3 = 0 es el radio:
r = (h + k - 3) / √2; o bien 2 r² = (h + k - 3)²
Tenemos 3 ecuaciones con 3 incógnitas. La solución es muy laboriosa.
Utilizando un procesador matemático (Derive 5) se obtienen los siguientes valores.
h = 13/2; k = 3/2; r = 5 √2/2
La ecuación es entonces:
(x - 13/2)² + (y - 3/2)² = 25/2
Adjunto gráfico con la circunferencia, la recta y los dos puntos.
Saludos Herminio
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1
La forma de la ecuación es:
C: (x-h)² + (y-k)² = r²
(10,2) ∈ C → (10-h)² + (2-k)² = r² → h² + k² - 20h - 4k + 104 = r²
(4,-1) ∈ C → (4-h)² + (-1-k)² = r² → h² + k² - 8h + 2k + 17 = r²
resto ambas ecuaciones y se obtiene otra ecuación llamada eq3
eq3: 12h + 6k = 87
La recta perpendicular a la recta tangente es:
Lp: y = x + b;
(4,-1) ∈ Lp → -1 = 4 + b → b= -5
Por lo tanto, Lp: y = x - 5;
El centro de la circunferencia C, que es (h,k), pertenece a la recta Lp, por lo tanto:
k = h - 5
reemplazo en eq3 y se obtiene:
12h + 6(h-5) = 87
Obtengo h; h = 13/2
Reemplazo y obtengo k; k = 13/2 - 5 = 3/2
obtenido el centro se puede hallar el radio con la distancia del centro a la recta tangente, es decir:
r = |13/2 + 3/2 - 3| / √2 = 5/√2
Obtenidos h; k; r; se procede a reemplazar y tener la ecuación:
C: (x-13/2)² + (y-3/2)² = 25/2
Adjunto gráfico
C: (x-h)² + (y-k)² = r²
(10,2) ∈ C → (10-h)² + (2-k)² = r² → h² + k² - 20h - 4k + 104 = r²
(4,-1) ∈ C → (4-h)² + (-1-k)² = r² → h² + k² - 8h + 2k + 17 = r²
resto ambas ecuaciones y se obtiene otra ecuación llamada eq3
eq3: 12h + 6k = 87
La recta perpendicular a la recta tangente es:
Lp: y = x + b;
(4,-1) ∈ Lp → -1 = 4 + b → b= -5
Por lo tanto, Lp: y = x - 5;
El centro de la circunferencia C, que es (h,k), pertenece a la recta Lp, por lo tanto:
k = h - 5
reemplazo en eq3 y se obtiene:
12h + 6(h-5) = 87
Obtengo h; h = 13/2
Reemplazo y obtengo k; k = 13/2 - 5 = 3/2
obtenido el centro se puede hallar el radio con la distancia del centro a la recta tangente, es decir:
r = |13/2 + 3/2 - 3| / √2 = 5/√2
Obtenidos h; k; r; se procede a reemplazar y tener la ecuación:
C: (x-13/2)² + (y-3/2)² = 25/2
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