Question

Determina la ecuación ordinaria de la circunferencia que contiene el punto M (6, 12) y el centro C (3, -4)

Answer 1

La ecuación ordinaria de la circunferencia solicitada está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-3)^2+(y+4)^2= 265 }}$

Solución

Ecuación ordinaria de la circunferencia

La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde (h, k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.

La variable r representa el radio del círculo, h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen

Donde conocemos las coordenadas del centro del círculo y las coordenadas de un punto dado que pasa por la circunferencia

Siendo el centro el punto:

$\boxed{ \bold { C \ (3,-4) \ \ (h, k)} }$

Luego para encontrar la ecuación de la circunferencia solicitada debemos determinar su radio

Hallamos el radio del círculo

Siendo el radio cualquier recta que vaya desde el centro del círculo hasta un punto cualesquiera de la circunferencia

Tomamos para hallar el radio del círculo su centro y el  punto dado M que pasa por la circunferencia y que por tanto pertenece a la misma y de los cuales conocemos sus coordenadas -ambos dados por enunciado-

Tomando entonces los puntos C (3, -4) y M (6, 12)  

Empleamos la fórmula de la distancia entre los puntos para hallar el radio del círculo

$\large\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

Reemplazamos los valores para $\bold{ (x_{1} ,y_{1} ) \ y \ (x_{2} ,y_{2} )}$

$\bold{C (3,-4) \to (x_{1} , y_{1} )}$

$\bold{M (6,12) \to (x_{2} , y_{2} )}$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{(6-3 )^{2} +(12 -(-4))^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{(6-3 )^{2} +(12+4)^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{3^{2} +16^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{9\ + \ 256 } } }$

$\large\boxed{ \bold { radio = \sqrt{ 265 } \ unidades } }$

$\bold{radio\approx 16.28 \ unidades}$

El radio del círculo es igual a √265 unidades

Determinamos la ecuación de la circunferencia

Reemplazando en la ecuación:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Los valores conocidos de (h, k) = C (3,-4) y radio = √265 unidades

$\boxed{ \bold { (x-3)^2+(y+4)^2=\left(\sqrt{265}\right) ^{2} }}$

$\large\boxed{ \bold { (x-3)^2+(y+4)^2= 265 }}$

Habiendo encontrado la ecuación ordinaria de la circunferencia solicitada

Se encuentra la gráfica en el adjunto