Determina la ecuación en forma simétrica de la recta que contiene el punto B(4,1) y es perpendicular a la recta de ecuación x/4-y/2=1
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Respuestas a la pregunta
Explicación paso a paso:
La ecuación canónica o segmentaria de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que ésta determina sobre los ejes de coordenadas.
a es la abscisa en el origen de la recta.
b es la ordenada en el origen de la recta.
Los valores de a y de b se se pueden obtener de la ecuación general.
Si y = 0 resulta x = a.
Si x = 0 resulta y = b.
Una recta carece de la forma canónica en los siguientes casos:
1.-Recta paralela a OX, que tiene de ecuación y = n
2.-Recta paralela a OY, que tiene de ecuación x = k
3.-Recta que pasa por el origen, que tiene de ecuación y = mx.
Ecuación general de la recta
Partiendo de la ecuación continua la recta
Y quitando denominadores se obtiene:
Trasponiendo términos:
Haciendo
Se obtiene
Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implicita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta.
Las componentes del vector director son:
La pendiente de la recta es:
Obtener la ecuación normal de la recta, dado su ángulo y distancia al origen
Ejemplo:
Para encontrar la ecuación de una recta, si la longitud de su normal es 8 y su ángulo de inclinación ω = 60º se tienen los dos datos que se requieren para determinarla. Sólo hace falta calcular el valor del coseno y del seno de 60º, lo cual se puede hacer con ayuda de unas tablas o de una calculadora.
Como
Al sustituir los valores correspondientes en la forma que tiene la ecuación normal se obtiene:
Si se eliminan los denominadores, multiplicando por 2 a todos los términos, se obtiene la ecuación de la misma recta en su forma general:
Hallar la forma normal de recta, dada su ecuación general
Forma normal
La ecuación de la recta en su forma normal es:
donde A, B, C ∈ R y los coeficientes A, B no pueden ser cero simultáneamente.
Para obtener esta ecuación basta dividir ambos lados de la ecuación de la recta en su forma general entre
Ejemplo:
Encuentra la ecuación en forma normal de la recta: 12 x − 5y + 1 = 0.
En este ejemplo necesitamos convertir la ecuación de la recta en forma general a la forma normal.
Para eso basta calcular el valor del denominador: y dividir ambos lados de la ecuación (en su forma general) por ese valor.
Entonces, la ecuación simétrica la obtenemos dividiendo entre 13:
En este primer ejemplo obtuvimos un valor entero para pero eso no siempre ocurrirá.
La mayoría de las veces encontraremos raíces de números que no se podrán simplificar.
En esos casos es mejor dejar indicada la raíz y no escribir decimales. Es más fácil de entender la ecuación mientras menos decimales contenga y es más fácil de escribir la ecuación cada vez.
Distancia entre un punto y una recta
Frecuentemente en geometría nos encontramos con el problema de calcular la distancia desde un punto a una recta.
La fórmula para calcular la mínima distancia medida desde el punto P(x1, y1) hasta la recta A x + B y + C = 0, es:
Obviamente, suponemos que el punto en cuestión no está sobre la recta, porque en ese caso, la distancia buscada es cero.
Observa que si el punto P(x1, y1) está sobre la recta, entonces satisface su ecuación y como su ecuación, tanto en forma general como en forma normal, están igualadas a cero, al sustituir las coordenadas del punto en la ecuación de la recta en forma normal (que corresponde a fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta) obtenemos cero:
Ejemplo:
Calcula la distancia desde la recta 5 x − 12 y − 10 = 0 hasta el punto P(4, 3).
Sustituimos los datos conocidos en la fórmula:
Entonces, desde la recta 5 x − 12 y − 10 = 0 hasta el punto P(4, 3) hay 2 unidades de distancia.
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