Question

Determina la ecuación de una parábola que tiene los extremos de su lado recto en (-8,5) y (4,5). Considera el valor de "p" Negativo.

Answer 1

La ecuación de la parábola, que tiene los extremos de su lado recto en (-8,5)  y  (4,5) y se considera el valor de "p" negativo,  es:

x²  +  4x  +  12y  -  92  =  0

¿Cuál es la ecuación canónica de la parábola de eje vertical?

La ecuación canónica de una parábola de eje vertical es:

(x  -  h)²  =  ±4p (y  -  k)

donde:

• (h, k)    son las coordenadas del vértice
• p     es la distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz

En el caso estudio, se tiene una parábola de eje focal vertical y de sentido negativo, es decir, abre hacia abajo.

El lado recto es una cuerda focal cuya longitud es  4p, por tanto, la distancia entre los puntos  (-8, 5)  y  (4, 5)  es igual a  4p

$\bold{4p~=~\sqrt{(-8~-~4)^2~+~(5~-~5)^2}~=~12}$

También sabemos que el foco es el punto medio del segmento limitado por los puntos  (-8, 5)  y  (4, 5), es decir, el foco es el punto  (-2, 5).

De aquí se tiene que el eje focal es la recta vertical  x  =  -2,  por lo que la coordenada x  del vértice es  h  =  -2.

Sustituimos la información conocida del vértice,  4p  y uno de los puntos en la ecuación dada para hallar el valor de  k

[4  -  (-2)]²  =  -(12) (5  -  k)        de aquí       k  =  8

El vértice es    (h, k)  =  (-2, 8)

La ecuación será

[x  -  (-2)]²  =  -(12) (y  -  8)

La ecuación de la parábola es:

x²  +  4x  +  12y  -  92  =  0

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