Question

Determina la ecuación de una parábola bajo las siguientes condiciones: Tenga su vértice en el punto (2.3) y su ordenada en el origen sea 15. Tenga como los puntos (1,0); (5.0) y su ordenada en el origen sea 15. Expresa estas últimas ecuaciones en las formas: estándar, vértice y factorizada

Answer 1

1) Determina la ecuación de la parábola

vértice: (2,3)

ordenada en el origen = 15. => (0,15)

La ecuación general de una parábola de vértice (h,k) es:

y = A (x - h)^2 + k

h = 2, k = 3

=> y = A(x - 2)^2 + 3

Solo falta encontrar A. Para ello reemplaza los valores de x,y por las coordenadas del punto dado: (0,15)

=> 15 = A(0 - 2)^2 + 3

=> 15 = A*4 + 3

=> 4A = 15 - 3

=> A = 12 / 4

=> A = 3

Por tanto, la ecuación buscada es y = 3(x - 2)^2 + 3. Esta es la fórma vértice.

La forma estándar se obtiene al desarrolar el cuadrado y simplificar:

y = 3 ( x^2 - 4x + 4) + 3

y = 3x^2 - 12x + 12 + 3

y = 3x^2 - 12x + 15

La forma factorizada es: y = 3[x^2 - 4x + 5]

2) puntos (1,0); (5.0)
ordenada en el origen sea 15.

Forma general: y = Ax^2 + Bx + C

x = 0 , y = 15 => 15 = C

x = 1, y = 0 => 0 = A + B + 15

x = 5, y = 0 =>  0 = 25A + 5B + 15

Resuelve el sistema:

    A +   B + 15 = 0

25A + 5B + 15 = 0

multiplica la de arriba por -5 y súmala con la segunda:

- 5A - 5B - 75 = 0
25A + 5B + 15 = 0
-----------------------------

20A - 60 = 0

=> 20A = 60

=> A = 60 / 20

=> A = 3

=> B = - A - 15 = - 3 - 15 = - 18

=> ecuación en forma estándar: y = 3x^2 - 18x + 15

forma factorizda: y = 3 (x^2 - 6x + 5) => y = 3(x - 5)(x - 1)

forma vértice:

y = 3 (x^2 - 6x + 5) = 3 [ (x - 3)^2 - 9 + 5] = 3 [ (x- 3)^2 - 4]

y = 3(x - 3)^2 - 12