Question

Determina la ecuación de una circunferencia que tiene su centro sobre la recta x+y=2 y que pasa por los puntos A (3,0) y B (2,-1)​

Answer 1

En la primer imagen podemos ver todos los datos en un plano cartesiano.

Conforme se nos indica, los puntos al formar parte de la circunferencia y al estar muy cómodamente separados, podemos intuir que la distancia entre ellos es el diámetro de la circunferencia, y su punto medio está sobre la recta, por lo que la nuestra sospecha cobra sentido

Calculas la distancia entre los puntos A(3, 0) y B(2, -1) con la siguiente fórmula:

$d = \sqrt{( x_{2} - x_{1}) ^{2} + {( y_{2} - y_{1}) }^{2} }$

Dónde A(x1, y1) y B(x2, y2)

Sustituimos:

$d = \sqrt{(2 - 3) {}^{2} + {( - 1 - 0)}^{2} } \\ d = \sqrt{1 + 1} \\ d = \sqrt{2}$

Este es el diámetro, pero lo que nos interesa es el radio, por lo que divides por 2:

$r = \dfrac{ \sqrt{2} }{2}$

Ahora, calculas el Punto medio de A(x1, y1) y B(x2, y2):

$PM = ( \dfrac{ x_{1} + x_{2}}{2} ,\: \dfrac{ y_{1} + y_{2} }{2} )$

$PM = (\dfrac{2 + 3}{2} , \: \dfrac{ - 1 + 0}{2} \\ PM = ( \dfrac{5}{2} , \: - \dfrac{1}{2} )$

Este PM viene a ser el centro de la circunferencia, cómo se puede observar, su centro está fuera del origen, por lo que usas:

$\boxed{ {(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = {r}^{2} }$

(h, k) son las coordenadas del centro, sustituimos:

$(x - \dfrac{5}{2} ) {}^{2} + {(y + \dfrac{1}{2}) }^{2} = {( \dfrac{ \sqrt{2} }{2}) }^{2} \\ (x - \dfrac{5}{2} ) {}^{2} + {(y + \dfrac{1}{2}) }^{2} = \dfrac{2}{4} \\ \bf{ (x - \dfrac{5}{2} ) {}^{2} + {(y + \dfrac{1}{2}) }^{2} = \dfrac{1}{2} }$