Question

Determina la ecuación de la recta tangente a la función f(x) = x² - 6x +3, con pendiente igual a 6. ​

Answer 1

Explicación paso a paso:

f(x) = x² -6x + 3   ====> y = x² - 6x + 3

m = 6

La ecuación de la recta se define por: Ax + By + C = 0

(y - y₁) = m(x - x₁)

y - y₁ = 6(x - x₁)

y - y₁ = 6x - 6x₁

y - y₁ -6x + 6x₁ = 0

-6x + y + (6x₁ - y₁) = 0

6x - y - (6x₁ - y₁) = 0

Entonces:

A = 6; B = -1; C = - (6x₁ - y₁)

Pero desconocemos el valor de C, por lo tanto lo llamaré K y me quedará así:

6x - y + K = 0

Esta sería la ecuación de la recta genérica con pendiente m = 6, pero debemos encontrar el valor de K que nos daría la ecuación de la recta específica con pendiente m = 6, y que es tangente a la parábola del problema.

Despejando la "y", tenemos:

- y = - 6x - K

y = 6x + K

Sustituyendo "y" en la ecuación de la parábola tenemos:

y = x² - 6x + 3

(6x + K) = x² - 6x + 3

0 = x² - 6x + 3 - 6x - K

x² - 12x + 3 - K = 0

Tenemos una ecuación cuadrática de la forma ax² + bx + c, donde:

a = 1; b = -12; c = 3 - K

Para encontrar el valor de K especifico, el discriminante de la fórmula general debe ser cero (0). Esto es:

b² - 4ac = 0

Sustituímos:

(-12)² - 4(1)(3-K) = 0

144 - 12 + 4K = 0

132 + 4K = 0

4K = -132

K = -132 / 4

K = -33

Sustituímos el valor de K en la ecuación de la recta genérica para pendiente m=6 que habíamos encontrado antes:

6x - y + K = 0

6x - y + (-33) = 0

6x - y - 33 = 0     =======> Solución