Question

Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: x + y − 6 = 0 y por foco el origen de coordenadas.

Answer 1

Dado un punto llamado foco y una recta llamada directriz que no pasa por el foco, se llama parábola al conjunto del puntos tales que su distancia al foco es igual que a la recta directriz.

Sean u y v las coordenadas de dicho conjunto de puntos (para no confundir con x e y

Distancia desde (u, v) al origen: d =√(u² + v²)

Distancia desde (u, v) hasta la recta: d = (u + v - 6) / √2

Son iguales:

√(u² + v²) = (u + v - 6) / √2; elevamos al cuadrado:

u² + v² = 1/2 (u + v - 6)²

Quitamos paréntesis: (pasamos el 2 al primer miembro)

2 (u² + v²) = u² + 2 u v + v² - 12 u - 12 v + 36

Trasponiendo al primer término queda y volviendo a x e y:

x² - 2 x y + y² + 12 x + 12 y - 36 = 0

Es la ecuación pedida. Adjunto gráfico.

La presencia del término - 2 x y indica que los ejes propios de la cónica no son paralelos a los ejes coordenados

Saludos Herminio