Question

Determina la ecuación de la parábola de vértice en el origen y que tiene como lado recto el diámetro horizontal de la circunferencia: x2+ y2– 4y – 12 = 0

Answer 1

Ejemplo al utilizar las ecuaciones de la parabola y de la circunferencia. La ecuacion de la parabola es $y=\frac{1}{8}x^{2}$

• El lado recto de una parabola es el la semirecta que pasa por el foco y es paralelo a la directriz. Nos dicen que este lado recto es el diametro de una circunferencia dada. Debemos hallar ese diametro.
• La ecuacion de una circunferencia esta dada por $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$.
• Nuestra circunferencia tiene la ecuacion $x^{2} +y^{2} -4y-12=0$
• Factorizando nos queda de la forma $x^{2} +(y-2)^{2}=16$
• Concluimos que $r^{2}=16, r=4$ y el diametro es dos veces el radio, entonces el diametro de la circunferencia es 8, este es el lado recto de nuestra parabola.
• La distancia focal p es la distancia entre el vertice y el foco y nos sirve hallarla para aplicar en la ecuacion de la parabola.
• Lado recto=4p, entonces p=8/4=2.
• Aplicamos en la ecuacion $(y-0)=\frac{1}{4p}(x-0)^{2}</strong>\\  y=\frac{1}{4*2}x^{2}\\  y=\frac{1}{8}x^{2}$.
• Ver la grafica adjunta.

Adjuntos: