Question

Determina la ecuación de la intensidad de corriente y de la carga en función del tiempo de un circuito LRC que tiene una inductancia de 1 henrio, una resistencia de 150 ohms, una capacitancia de 0.0002 faradios y un voltaje de entrada de 100 volts.

Answer 1

Las funciones de corriente y de carga en el circuito son:

$i(t)=C_1(e^{-100t}-e^{-50t})\\q(t)=C_1(50e^{-50t}-100e^{-100t})$

Explicación:

En este ejercicio empezamos planteando la ecuación diferencial del circuito planteando las expresiones que relacionan la tensión con la corriente en cada elemento, asumimos que se trata de un circuito serie por lo que las tensiones en cada elemento se suman:

$E=iR+L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\int\limits^t_0 {i} \, dt$

En esta expresión derivamos ambos miembros:

$\frac{dE}{dt}=R\frac{di}{dt}+L\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{1}{C}i$

Al ser una tensión continua, la derivada del primer miembro es cero, queda una ecuación diferencial homogenea a coeficientes constantes. Proponemos como solución:

$i(t)=e^{\alpha t}$

Y obtenemos la ecuación auxiliar:

$L\alpha^2+R\alpha+\frac{1}{C}=0$

Con estos valores resolvemos la ecuación cuadrática:

$\alpha=\frac{-R\ñ\sqrt{R^2-4.L\frac{1}{C}}}{2L}$

Reemplazando valores queda:

$\alpha=\frac{-150\ñ\sqrt{(150)^2-4.1\frac{1}{2\times 10^{-4}}}}{2}\\\\\alpha_1=-100\\\alpha_2=-50$

La ecuación de corriente queda:

$i(t)=C_1e^{-100t}+C_2e^{-50t}$

Como la corriente en el primer instante es nula al tener la bobina la fuerza contraelectromotriz queda:

$i(t)=C_1e^{-100t}-C_1e^{-50t}$

La carga luego es la integral de la corriente en el tiempo:

$q(t)=\int\limits^t_0 {i(t)} \, dx =-100C_1e^{-100t}+50C_1e^{-50t}$