Question

determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (7,9),(7,5),(11,9)​

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

(X-9)^2+(Y-7)^2=8

Answer 2

【Rpta.】La ecuación de la circunferencia es x² + y² - 18x - 14y + 122 = 0

                                 ${\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Procedimiento}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}$

Recordemos que una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y) del plano que equidistan de un punto fijo C(h,k), al cuál llamaremos centro.

                                    $\overset{\mathsf{Ecuaci\acute{o}n\:de\:la\:circunferencia}}{\boxed{\boldsymbol{\mathrm{x^2+y^2+Dx+Ey+F=0}}}}$

                                    Donde E, D y F son constantes

En el problema, los puntos que nos da el enunciado debe cumplir la igualdad mencionada, entonces

        $\kern-70pt\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright} \:\:\:\mathsf{Para\ el\ primer\ punto: P=(\underbrace{\mathsf{7}}_{x_1},\underbrace{\mathsf{9}}_{y_1})}\\\\\mathsf{\kern30pt x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0}\\\\\mathsf{\kern29pt x_1^2+y_1^2+Dx_1+Ey_1+F = 0}\\\\\mathsf{\kern10pt (7)^2+(9)^2+D(7)+E(9)+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 49+81 + 7D + 9E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 130 + 7D + 9E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt\boxed{\mathsf{ 7D + 9E+F = -130}}}$

 

        $\kern-70pt\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright} \:\:\:\mathsf{Para\ el\ segundo\ punto: Q=(\underbrace{\mathsf{7}}_{x_2},\underbrace{\mathsf{5}}_{y_2})}\\\\\mathsf{\kern30pt x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0}\\\\\mathsf{\kern29pt x_2^2+y_2^2+Dx_2+Ey_2+F = 0}\\\\\mathsf{\kern10pt (7)^2+(5)^2+D(7)+E(5)+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 49+25 + 7D + 5E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 74 + 7D + 5E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt\boxed{\mathsf{ 7D + 5E+F = -74}}}$

 

        $\kern-70pt\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright} \:\:\:\mathsf{Para\ el\ tercer\ punto: R=(\underbrace{\mathsf{11}}_{x_3},\underbrace{\mathsf{9}}_{y_3})}\\\\\mathsf{\kern30pt x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0}\\\\\mathsf{\kern29pt x_3^2+y_3^2+Dx_3+Ey_3+F = 0}\\\\\mathsf{\kern10pt (11)^2+(9)^2+D(11)+E(9)+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 121+81 + 11D + 9E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 202 + 11D + 9E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt\boxed{\mathsf{ 11D + 9E+F = -202}}}$

 

Ordenando la ecuaciones tendremos un sistema de ecuaciones lineales

                                              $\mathsf{ 7D + 9E+F = -130}\\\\\mathsf{ 7D + 5E+F = -74}\\\\\mathsf{ 11D + 9E+F = -202}$

 

Para resolverlo utilizaremos el método de determinantes, por ello escribiremos el sistema en forma matricial

                                               $\left[\begin{array}{rrr|r}7 & 9 & 1 & -130\\7 & 5 & 1 & -74\\ 11 & 9 & 1 & -202\end{array}\right]$

Calculamos la determinante principal

                                           $\mathsf{\Delta_P =\left|\begin{array}{rrr}7 & 9 & 1\\7 & 5 & 1\\ 11 & 9 & 1\end{array}\right|=16}$

Como la determinante es diferente que 0 diremos que el sistema tiene solución única, para determinar los valores de D, E y F utilizaremos las determinantes auxiliares.

✔ Determinante auxiliar para D

                                        $\mathsf{\Delta_D =\left|\begin{array}{rrr}-130 & 9 & 1\\-74 & 5 & 1\\ -202 & 9 & 1\end{array}\right|=-288}$

✔ Determinante auxiliar para E

                                        $\mathsf{\Delta_E=\left|\begin{array}{rrr}7 & -130 & 1\\7 & -74 & 1\\ 11 & -202 & 1\end{array}\right|=-224}$

✔ Determinante auxiliar para F

                                        $\mathsf{\Delta_F=\left|\begin{array}{rrr}7 & 9 & -130\\7 & 5 & -74\\ 11 & 9 & -202\end{array}\right|=1952}$

Finalmente tenemos que:

                                           $\mathsf{\blacktriangleright\:\:\:D=\dfrac{\Delta_D}{\Delta_P}=\dfrac{-288}{16}=-18}\\\\\\\mathsf{\blacktriangleright\:\:\:E=\dfrac{\Delta_E}{\Delta_P}=\dfrac{-224}{16}=-14}\\\\\\\mathsf{\blacktriangleright\:\:\:F=\dfrac{\Delta_F}{\Delta_P}=\dfrac{1952}{16}=122}$

 

La ecuación de nuestra circunferencia sería:

                                     $\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:x^2+y^2+Dx+Ey+F=0}\\\\\\\n\mathsf{x^2+y^2+(-18)x+(-14)y+(122)=0}\\\\\\\mathsf{\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{x^2+y^2-18x-14y+122=0}}}}}$

 

                                            $\mathsf{\mathsf{\above 3pt \phantom{aa}\overset{\displaystyle \fbox{I\kern-3pt R}}{}\hspace{2 pt}\fbox{C\kern-6.8pt O}\hspace{2 pt}\overset{\displaystyle\fbox{C\kern-6.5pt G}}{} \hspace{2 pt} \fbox{I\kern-3pt H} \hspace{2pt}\overset{\displaystyle\fbox{I\kern-3pt E}}{} \hspace{2pt} \fbox{I\kern-3pt R} \phantom{aa}} \above 3pt}$