Question

determina la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P(2,2) y del centro C(5,1)​

Answer 1

【Rpta.】La ecuación de la circunferencia es (x - 5)² + (y - 1)² = 10.

                                 ${\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Procedimiento}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}$

Recordemos que una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y) del plano que equidistan de un punto fijo C(h,k), al cuál llamaremos centro.

    $\overset{\mathsf{Ecuaci\acute{o}n\:de\:la\:circunferencia}}{\boxed{\boldsymbol{\mathrm{(x-h)^2+(y-k)^2=r^2}}}}\hspace{20pt} \mathsf{Donde}\hspace{10pt}\overset{\displaystyle \nearrow \overset{\displaystyle \mathsf{\mathrm{\mathrm{(h,k): Centro\:de\:la\:circunferencia}}}}{\vphantom{A}}}{\vphantom{\frac{a}{a}}}\kern-158pt\underset{\displaystyle \searrow \underset{\displaystyle \mathsf{\mathrm{r:radio}}}{}}{}$ Primero determinaremos nuestro radio, por ello hallaremos la distancia entre el punto P y C

                                      $\mathsf{d[P,C]=\sqrt{[(2)-(5)]^2+[(2)-(1)]^2}}\\\\\mathsf{d[P,C]=\sqrt{(-3)^2+(1)^2}}\\\\\mathsf{d[P,C]=\sqrt{9+1}}\\\\{\boxed{\boldsymbol{\boxed{\mathsf{d[P,C]=\sqrt{10}}}}}}$

Ya conociendo esto tenemos todos nuestros datos para hallar su ecuación

                                        $\mathsf{\blacktriangleright \:\:\:C = (\underbrace{5}_{h},\overbrace{1}^{k})}$

                                        $\mathsf{\blacktriangleright \:\:\:r = \sqrt{10}}$

Reemplazamos estos valores en la ecuación de la circunferencia

                                     $\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:(x-h)^2+(y-k)^2=r^2}\\\\\mathsf{[x-(5)]^2+[y-(1)]^2=(\sqrt{10})^2}\\\\\mathsf{\:\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{(x-5)^2+(y-1)^2=10}}}}}$

La gráfica en la imagen solo es para comprobar nuestros resultados.

 

                                          $\mathsf{\mathsf{\above 3pt \phantom{aa}\overset{\displaystyle \fbox{I\kern-3pt R}}{}\hspace{2 pt}\fbox{C\kern-6.8pt O}\hspace{2 pt}\overset{\displaystyle\fbox{C\kern-6.5pt G}}{} \hspace{2 pt} \fbox{I\kern-3pt H} \hspace{2pt}\overset{\displaystyle\fbox{I\kern-3pt E}}{} \hspace{2pt} \fbox{I\kern-3pt R} \phantom{aa}} \above 3pt}$