Question

determina el valor que debe tener k para que la condicion dada se cumpla : a. x^2-kx+27=0, una raiz es el triple de la otra. b. 4x^2-3x+k=0, tiene una raiz igual a 3. c. 2kx^2-4kx+5k=3x^2+x-8, el producto de sus raices sea igual al doble de su suma. d. x^2-3(x-k)-2=0,una raiz sea igual al doble de la otra menos 3.

Answer 1

Solución (a)
En la expresión una raíz es el triple de la otra:      a = 3b
$x^{2} -kx+27=0 \\ x= \frac{k+- \sqrt{ k^{2}-108 } }{2*1} \\ a= \frac{k+ \sqrt{ k^{2} -108} }{2}...y...b= \frac{k- \sqrt{ k^{2}-108 } }{2} \\ como: \\ a=3b \\ \frac{k+ \sqrt{ k^{2} -108} }{2}}=3( \frac{k- \sqrt{ k^{2}-108 } }{2}) \\ 2k=4 \sqrt{ k^{2}-108 } \\ elevamos...al...cuadrado \\ 4 k^{2}=16( k^{2}-108) \\ 4 k^{2}=16 k^{2}-1728 \\ 12 k^{2}=1728 \\ k^{2}=144 \\ k=12$

Solución (b)
En la expresión tiene una raíz igual a 3
$4 x^{2} -3x+k=0 \\ x= \frac{3+- \sqrt{9-16k} }{8}=3 \\ entonces \\ 9-16 k=0 \\ k= \frac{9}{16}$

Solución (c)
El producto de sus raíces es igual al doble de su suma:       a*b = 2(a + b)
$2kx^2-4kx+5k=3x^2+x-8 \\ (2k-3) x^{2} -(4k+1)x+(5k+8)=0 \\ x= \frac{(4k+1)+- \sqrt{ (4k+1)^{2}-4(4k+1)(5k+8) } }{2(4k+1)} \\ x= \frac{(4k+1)+- \sqrt{16 k^{2}+8k+1-80 k^{2}-148k-32 } }{2(4k+1)} \\ x= \frac{(4k+1)+- \sqrt{-64 k^{2}-140k-31 } }{2(4k+1)} \\entonces-aplicamos-1ra-regla: \\ \frac{(4k+1)+ \sqrt{-64 k^{2}-140k-31 } }{2(4k+1)}*\frac{(4k+1)- \sqrt{-64 k^{2}-140k-31 } }{2(4k+1)} \\ \frac{ (4k+1)^{2}-(-64 k^{2}-140k-31) }{4 (4k+1)^{2} } \\ entonces-aplicamos-2da-regla$
$2(\frac{(4k+1)+ \sqrt{-64 k^{2}-140k-31 } }{2(4k+1)}+\frac{(4k+1)+ \sqrt{-64 k^{2}-140k-31 } }{2(4k+1)}) \\ 2( \frac{2(4k+1)}{2(4k+1)})=2$
Igualas las dos expresiones y obtienes el valor de "k"...

Solución # 4
Una raíz es el doble de la otra menos tres:    a = 2b - 3
$x^2-3(x-k)-2=0 \\ x^{2} -3x+3k-2=0 \\ x= \frac{3+- \sqrt{9-4(3k-2)} }{2} = \frac{3+- \sqrt{1-12k} }{2} \\ \frac{3+ \sqrt{1-12k} }{2}=2(\frac{3- \sqrt{1-12k} }{2}-3) \\ \frac{3+ \sqrt{1-12k} }{2}=2(\frac{3- \sqrt{1-12k}-6 }{2}) \\ \frac{3+ \sqrt{1-12k} }{2}=\frac{-6-2 \sqrt{1-12k} }{2} \\ 3 \sqrt{1-12k} =-9 \\ \sqrt{1-12k}=-3 \\ elevamos-al-cuadrado \\ 1-12k=9 \\ 12k=10 \\ k= \frac{5}{6}$

Bastante extenso... Suerte...