Question

determina el valor del siguiente limite:
Lim √x+3 - √3x+1 / √x-1
x⇒1

Answer 1

Ok...tu pregunta es la siguiente

$\lim_{x \to \(1} \frac{ \sqrt{x+3}- \sqrt{3x+1} }{x-1}$

Si está mal me corriges...
Bueno como siempre se va a producir una indeterminación (nada es fácil nunca)...entonces vamos a ver que tipo de indeterminación es...y pondremos cara de sorpresa...

$\lim_{x \to \(1} \frac{ \sqrt{x+3}- \sqrt{3x+1} }{x-1}= \frac{ \sqrt{1+3}- \sqrt{3(1)+1} }{1-1} = \frac{2-2}{1-1} = \frac{0}{0}$

:O...entonces nos salió cero sobre cero...es un tipo de indeterminación y pues tenemos que levantarla...jaja...:3

Bueno con el tiempo vas a desarrollar el instinto del cálculo y vas a poder darte cuenta cual será el mejor camino..Para levantar las indeterminación tienes que ser bastante astuta, es decir debes aplicar todo lo que sepas de geometría, aritmética, el álgebra, es decir identidades trigonométricas, números inteligentes (1-1=0); completar cuadrados...en fin hay varias herramientas, la que vamos a usar aquí es la "racionalización" pero vamos a racionalizar la parte de arriba (numerador) porque?...porque no nos sirve de nada racionalizar el denominador porque nos va a quedar igual..entonces hagamos eso..

$\frac{ \sqrt{x+3}- \sqrt{3x+1} }{ \sqrt{x-1} } =\frac{ \sqrt{x+3}- \sqrt{3x+1} }{\sqrt{x-1}}( \frac{ \sqrt{x+3}+ \sqrt{3x+1} }{ \sqrt{x+3}+ \sqrt{3x+1} } ) = \frac{(x+3)-(3x+1)}{(\sqrt{x-1})( \sqrt{x+3}+ \sqrt{3x+1} )} = ... \\ \\ \frac{-2x+2}{(\sqrt{x-1})( \sqrt{x+3}+ \sqrt{3x+1} )} = \frac{-2(x-1)}{(\sqrt{x-1})( \sqrt{x+3}+ \sqrt{3x+1} )} =- \frac{2(x-1)}{(\sqrt{x-1})( \sqrt{x+3}+ \sqrt{3x+1} )}$

Hasta aquí nada nuevo verdad?..solo hemos racionalizado y operado un poco ...ahora recordemos un poco el álgebra

$\frac{a ^{n} }{a ^{m} } =a ^{n-m}$ 
$a ^{n} a ^{m} =a ^{n+m}$
Además
$\sqrt[n]{x} = x^{ \frac{1}{n} }$

estás de acuerdo con ésto verdad?...si las bases son las mismas en una división entonces podemos restar los exponentes...

Si te fijas en lo que dejamos anteriormente expresado 

$\lim_{x \to \(1}\frac{ \sqrt{x+3}- \sqrt{3x+1} }{ \sqrt{x-1} } =- \frac{2(x-1)}{(\sqrt{x-1})( \sqrt{x+3}+ \sqrt{3x+1} )}$

Pero si te fijas tenemos un término que se re repite en el numerador y denominador ...es el (x-1), fíjate que son FACTORES, solo por eso podemos realizar el siguiente procedimiento...
Primero pongámole un nombre a ese término 

$(x-1)=a$

entonces nos quedaría así

$\lim_{x \to \(1}\frac{ \sqrt{x+3}- \sqrt{3x+1} }{ \sqrt{x-1} } =- \frac{2(x-1)}{(\sqrt{x-1})( \sqrt{x+3}+ \sqrt{3x+1} )}=- \frac{2a}{ \sqrt{a}( \sqrt{x+3}+ \sqrt{3x+1} )) } =.. \\ \\ ...= -\frac{2a}{ a ^{ \frac{1}{2} }( \sqrt{x+3}+ \sqrt{3x+1} )) } =- \frac{2(a)(a ^{- \frac{1}{2} } )}{ (\sqrt{x+3}+ \sqrt{3x+1} )} =- \frac{2(a ^{1- \frac{1}{2} } )}{ \sqrt{x+3}+ \sqrt{3x+1} )} =... \\ \\ ...=- \frac{2 a ^{ \frac{1}{2} } }{( \sqrt{x+3}+ \sqrt{3x+1} )} =- \frac{2 \sqrt{a} }{( \sqrt{x+3}+ \sqrt{3x+1} )}=$

Hasta aquí solo hemos aplicado las propiedades de los exponentes...y pulido un poquito esa fracción...entonces entones nos quedaría así

$\lim_{x \to \(1}\frac{ \sqrt{x+3}- \sqrt{3x+1} }{ \sqrt{x-1} }=- \frac{2 \sqrt{a} }{( \sqrt{x+3}+ \sqrt{3x+1} )}=- \frac{2 \sqrt{x-1} }{( \sqrt{x+3}+ \sqrt{3x+1} )}$

Y como te das cuenta nos hemos desecho del denominador que era el nos fastidiaba...ahora si calculemos ese límite..

$\lim_{x \to \(1}\frac{ \sqrt{x+3}- \sqrt{3x+1} }{ \sqrt{x-1} }=- \frac{2 \sqrt{x-1} }{( \sqrt{x+3}+ \sqrt{3x+1} )}=- \frac{2 \sqrt{1-1} }{ \sqrt{1+3}+ \sqrt{3(1)+1} } =... \\ \\ ...= -\frac{2 \sqrt{0} }{4} = 0$

Y ya...ese es el límite cuando x tiende a 1...

Abajo te ajunto la imagen de la gráfica para que te fijes que efectivamente es cero...

Nota: Como te diste cuenta, es importante manejar bien las herramientas del álgebra, propiedades de exponentes, racionalización, un ejemplo de número inteligente es justamente la racionalización porque estoy multiplicando por 1...entonces no cambia...y eso sería todo, espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas...