Question

determina el valor de “k” sabiendo que los vectores u⃗ = (3k, 6) y v⃗ = (5, −5)
a) Ortogonales
b) Forman un angulo de 180°

Answer 1

Hola,

La relación entre el ángulo y los vectores está dado por:

$\cos \theta = \frac{\mathbf{u \cdot v}}{\mathbf{|u||v|}}$

Donde θ es el ángulo entre ellos.

a) Para que los vectores sean ortogonales, se tiene que cumplir que entre ambos formen un ángulo de 90º, si utilizamos la fórmula:

$\cos 90\º =\frac{\mathbf{u \cdot v}}{\mathbf{|u||v|}} \\\\0 = \frac{\mathbf{u \cdot v}}{\mathbf{|u||v|}}\\\\\mathbf{u \cdot v} = 0$

Esto implica que el producto interno entre ambos vectores, debe ser 0 :

(3k,6) * (5,-5) = 0

15k - 30 = 0

15k = 30

$\boxed{k=\frac{30}{15}=2}$

Ese valor debe tener k para que sean ortogonales.

b) Utilizando la misma relación, sustituimos el ángulo por 180º, el coseno de este ángulo corresponde a -1, por lo que tenemos

$-1 = \frac{\mathbf{u \cdot v}}{\mathbf{|u||v|}}\\\\-\mathbf{|u||v|} = \mathbf{u \cdot v}\\\\\\-\sqrt{(3k)^2+6^2}\cdot \sqrt{5^2+(-5)^2} = 15k - 30 \\\\\sqrt{2(9k^2+36)} = 6-3k \\\\\sqrt{18k^2 + 72} = 6-3k$

Bueno ahí sigues tú, a simple vista se ven que son raíces complejas, tendrás que elevar al cuadrado y encontrar los k.

Salu2.