Determina el resultado de la expresión: 2019^2-2018^2+2017^2-2016^2+...+3^2-2^2+1^2
Respuestas a la pregunta
El resultado de la expresion es de 6111514
Explicación paso a paso:
Para resolver este problema debemos hallar la sucesión que modela tal comportamiento
n = 1 ⇒ 2019²
n = 2 ⇒ -2018²
n = 3 ⇒ 2017²
.
.
n = 2019 ⇒ 1²
an = (-1)ⁿ⁺¹ *(2020 - n)² o
an1 = (2020 - n)² [1 - 2019]
an2 = -(2020 - 2n)² [1 - 2018]
ant = an1 - an2
Resolvemos entonces la serie
Σ₁²⁰¹⁹ (2020 - n)² + Σ₁²⁰¹⁸ -(2020 - 2n)²
Σ₁²⁰¹⁹ (4080400 - 4040n + n²) + Σ₁²⁰¹⁸ -(4080400 - 8080n + 4n²)
- Σₓⁿ n = 1/2n(n + 1)
- Σₓⁿ n² = 1/6n(n + 1)(n+1)
Σ₁²⁰¹⁹ (4080400 - 4040n + n²) =(4080400*2019) - (4040*1/2*2019(2019 + 1)) + 1/6 2019*(2019 + 1)(2*2019 + 1)
Σ₁²⁰¹⁹ (4080400 - 4040n + n²) = 2745429470
Σ₁²⁰¹⁸ -(4080400 - 8080n + 4n²) = (4080400*2018) - (8080*1/2*2018(2018 + 1)) + 4/6 2018*(2018 + 1)(2*2018 + 1) = 2739317956
Σ₁²⁰¹⁹ (2020 - n)² + Σ₁²⁰¹⁸ -(2020 - 2n)² = 2745429470 - 2739317956
= 6111514