Determina el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias es 40 a dos puntos fijos situados en F(-5, 4) y F)(-5,-8)
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
El lugar geometrico de los puntos cuya diferencia de distancias a los dos puntos fijos (-6,-4) y (2,-4) sea igual a 6 es la hipérbola
Explicación paso a paso:
El lugar geometrico es una hipérbola.
En una hipérbola es constante la diferencia de distancias a los focos.
Se trata de encontrar la hipérbola de focos (-6,-4) y (2,-4).
El centro de la hipérbola se encuentra en la recta y = -4
x = (-6+2)/2.
Por tanto sen encuentra en el punto (-2,-4)
La distancia focal es la distancia entre ambos puntos; puesto que es un segmento horizontal, la distancia será la diferencia de las abscisas, es decir: 2-(-6) = 8 unidades
La mitad de dicha distancia es igual a la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son los semiejes de la hipérbola
2c = 8
c = 4 unidades
Es fácil ver gráficamente que la diferencia de distancias de 6 unidades que nos dan como dato, es igual al eje horizontal. Siendo "a" el semieje, dicha distancia será igual a 2a.
2a = 6
a = 3 unidades (semieje horizontal)
El semieje vertical lo obtenemos con el teorema de Pitágoras:
a² + b² = c²
b = √(c² - a²)
b= √(4² - 3²)
b= √7 unidades
La ecuación de la hipérbola
a=3
b=√7
Centro se encuentra en (-2,-4) es:
(x - xo)²/a² - (y - yo)²/b² = 1
(x - (-2))²/3² - (y - (-4))²/(√7)² = 1
(x + 2)²/9 - (y + 4)²/7 = 1 espero que te ayude