Question

Determina el area del triángulo limitado por las rectas y=x1 y=-x1y y= 6

Answer 1

En Geometría Elemental se conocen las fórmulas para hallar el área de cualquier region limitada por una poligonal cerrada. Ahora bien, si una región limitada por alguna línea curva, como es el círculo, el área se expresa como un limite de las áreas de poligonales “próximas”. El procedimiento descrito en el capitulo anterior para definir el concepto de integral de una función consiste precisamente en aproximar la función por funciones escalonadas; si consideramos una función y = f(x) no negativa en un intervalo [a, b], la integral inferior es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos inscritos en la región limitada por la curva y = f(x), el eje OX y las rectas x = a y x = b, y la integral superior es el limite de las áreas de los rectángulos circunscritos a dicha región. De este modo podemos definir el rea de dicha región como la integral de la función f en el intervalo [a, b]. En general, Dada una función y = f(x) integrable en un intervalo [a, b], el área de la regi´on limitada por la funci´on, el eje OX y las rectas x = a y x = b se define como A = Z b a |f(x)| dx. Observaci´on: El valor absoluto de la funci´on es debido a que en los intervalos donde la funci´on es negativa, la integral tambi´en es negativa y su valor es opuesto al del ´area correspondiente. En la pr´actica, para eliminar el valor absoluto en el integrando, debemos determinar los intervalos de [a, b] donde la funci´on es positiva o negativa y descomponer la integral en suma de integrales correspondientes a cada uno de los intervalos indicados colocando el signo adecuado. As´ı, en la figura adjunta, el ´area se expresa como A = Z r a f(x) dx − Z s r f(x) dx + Z b s f(x) dx. 38 En particular, si la funci´on est´a expresada en forma param´etrica x = x(t), y = y(t), el ´area viene expresada como A = Z b a y dx = Z t1 t0 y(t) · x 0 (t) dt, donde a = x(t0), b = x(t1). Regiones m´as generales que las descritas son aquellas que est´an limitadas por dos funciones y = f(x), y = g(x) entre dos rectas verticales x = a y x = b. En este caso el ´area se expresa mediante la f´ormula A = Z b a |f(x) − g(x)| dx. En el ejemplo de la figura, el ´area se descompone como: A = Z r a [g(x) − f(x)] dx + Z s r [f(x) − g(x)] dx + Z b s [g(x) − f(x)] dx. Si la regi´on est´a limitada por dos curvas y = f(x), y = g(x) entre dos rectas horizontales y = c e y = d, consideramos las funciones inversas e integramos respecto a la variable y. El ´area se expresa entonces como A = Z d c |f −1 (y) − g −1 (y)| dy. En el ejemplo de la figura, dicha integral se descompone como A = Z r c [f −1 (y) − g −1 (y)] dy + Z d r [g −1 (y) − f −1 (y)] dy. 39 En los ejercicios que siguen veremos ejemplos de todas las situaciones planteadas. Al ser v´alidas aqu´ı todas las propiedades de las integrales obtenidas en el cap´ıtulo anterior, aplicaremos siempre los teoremas fundamentales de la integral. Omitiremos en la mayor´ıa de los casos el c´alculo de las primitivas pues ya se han realizado en el cap´ıtulo 7. Nos limitaremos a escribir el resultado de dicha primitiva y a indicar las sustituciones en los extremos de integraci´on. S´ı es muy conveniente tener una idea aproximada de la representaci´on gr´afica de las funciones involucradas para conocer la posici´on relativa de las mismas y los intervalos de integraci´on. Es importante tambi´en observar las simetr´ıas de las figuras para as´ı poder escribir f´ormulas m´as sencillas para el ´area de las mismas. 

Answer 2

En Geometría Elemental se conocen las fórmulas para hallar el área de cualquier region limitada por una poligonal cerrada. Ahora bien, si una región limitada por alguna línea curva, como es el círculo, el área se expresa como un limite de las áreas de poligonales “próximas”. El procedimiento descrito en el capitulo anterior para definir el concepto de integral de una función consiste precisamente en aproximar la función por funciones escalonadas; si consideramos una función y = f(x) no negativa en un intervalo [a, b], la integral inferior es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos inscritos en la región limitada por la curva y = f(x), el eje OX y las rectas x = a y x = b, y la integral superior es el limite de las áreas de los rectángulos circunscritos a dicha región. De este modo podemos definir el rea de dicha región como la integral de la función f en el intervalo [a, b]. En general, Dada una función y = f(x) integrable en un intervalo [a, b], el área de la regi´on limitada por la funci´on, el eje OX y las rectas x = a y x = b se define como A = Z b a |f(x)| dx. Observaci´on: El valor absoluto de la funci´on es debido a que en los intervalos donde la funci´on es negativa, la integral tambi´en es negativa y su valor es opuesto al del ´area correspondiente. En la pr´actica, para eliminar el valor absoluto en el integrando, debemos determinar los intervalos de [a, b] donde la funci´on es positiva o negativa y descomponer la integral en suma de integrales correspondientes a cada uno de los intervalos indicados colocando el signo adecuado. As´ı, en la figura adjunta, el ´area se expresa como A = Z r a f(x) dx − Z s r f(x) dx + Z b s f(x) dx. 38 En particular, si la funci´on est´a expresada en forma param´etrica x = x(t), y = y(t), el ´area viene expresada como A = Z b a y dx = Z t1 t0 y(t) · x 0 (t) dt, donde a = x(t0), b = x(t1). Regiones m´as generales que las descritas son aquellas que est´an limitadas por dos funciones y = f(x), y = g(x) entre dos rectas verticales x = a y x = b. En este caso el ´area se expresa mediante la f´ormula A = Z b a |f(x) − g(x)| dx. En el ejemplo de la figura, el ´area se descompone como: A = Z r a [g(x) − f(x)] dx + Z s r [f(x) − g(x)] dx + Z b s [g(x) − f(x)] dx. Si la regi´on est´a limitada por dos curvas y = f(x), y = g(x) entre dos rectas horizontales y = c e y = d, consideramos las funciones inversas e integramos respecto a la variable y. El ´area se expresa entonces como A = Z d c |f −1 (y) − g −1 (y)| dy. En el ejemplo de la figura, dicha integral se descompone como A = Z r c [f −1 (y) − g −1 (y)] dy + Z d r [g −1 (y) − f −1 (y)] dy. 39 En los ejercicios que siguen veremos ejemplos de todas las situaciones planteadas. Al ser v´alidas aqu´ı todas las propiedades de las integrales obtenidas en el cap´ıtulo anterior, aplicaremos siempre los teoremas fundamentales de la integral. Omitiremos en la mayor´ıa de los casos el c´alculo de las primitivas pues ya se han realizado en el cap´ıtulo 7. Nos limitaremos a escribir el resultado de dicha primitiva y a indicar las sustituciones en los extremos de integraci´on. S´ı es muy conveniente tener una idea aproximada de la representaci´on gr´afica de las funciones involucradas para conocer la posici´on relativa de las mismas y los intervalos de integraci´on. Es importante tambi´en observar las simetr´ıas de las figuras para as´ı poder escribir f´ormulas m´as sencillas para el ´area de las mismas. 
espero que te sirva