Question

Determina el área de la región sombreada.
la explicación del procedimiento​ y los pasos al resolverlo
(AYUDA PORFA)​

Answer 1

Respuesta:

Área sombreada = 13.87

Tu ejercicio no indica unidades, pero el área tendrías que expresarlo en unidades²

Explicación paso a paso:

Para hallar el área sombreada tienes que calcular el área del triángulo equilátero y restarle el área de la circunferencia inscrita en el triángulo.

1) Primero voy a calcular el área del triángulo:

Área triángulo = base×altura / 2

Sabemos que la base del triángulo mide 9, pero no conocemos su altura. Sin embargo, si trazas la altura, divides el triángulo equilátero en 2 triángulos rectángulos cuya base mide 4.5 y cuya hipotenusa mide 9, por lo que empleamos Pitágoras para hallar la medida del otro cateto, que sería la altura del equilátero:

9² = 4.5² + altura²

altura² = 9² - 4.5²

altura² = 81 - 20.25

altura² = 60.75

altura = √60.75 = 7.79

Una vez que sabemos el valor de la altura, calculamos el área del triángulo equilátero:

Área = 9×7.79 / 2 = 35.07

2) A continuación, calculamos el área de la circunferencia:

Area = Π r²

En este caso desconocemos el valor del radio, pero podemos calcularlo gracias al teorema del baricentro. El baricentro de un triángulo es el punto en el que se cortan las 3 medianas del triángulo y las medianas del triángulo son los segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto.

El teorema del baricentro lo que indica es que la distancia del baricentro a cada vértice es de 2/3 la longitud de cada mediana y, por tanto, la distancia hasta el punto central del lado opuesto es el otro 1/3 faltante.

En el triángulo equilátero una de las medianas es la altura del triángulo y desde el baricentro hasta la base del triángulo, tendríamos el valor del radio.

Gracias al teorema del baricentro sabemos que el valor del radio es 1/3 del valor de la altura. Por tanto:

radio = 1/3 × 7.79 = 2.598

Una vez que sabemos el radio, podemos calcular el área de la circunferencia:

Area = Π r² = Π 2.598² = 6.75 Π = 21.2

3) Hallas el área de la zona sombreada:

Área sombreada = 35.07 - 21.2 = 13.87