Matemáticas, pregunta formulada por cancofrancopcyjii, hace 1 año

detallado por favor, se me complica con el elemento A13

Adjuntos:

Respuestas a la pregunta

Contestado por CarlosMath
1

 A^2=\left[\begin{matrix}<br />1&amp;2&amp;1\\<br />0&amp;1&amp;2\\<br />0&amp;0&amp;1<br />\end{matrix}<br />\right]\hspace{1cm}A^3=\left[\begin{matrix}<br />1&amp;3&amp;3\\<br />0&amp;1&amp;3\\<br />0&amp;0&amp;1<br />\end{matrix}<br />\right]<br />\hspace{1cm}A^4=\left[\begin{matrix}<br />1&amp;4&amp;6\\<br />0&amp;1&amp;4\\<br />0&amp;0&amp;1<br />\end{matrix}<br />\right]\\ \\ \\<br />A^5=\left[\begin{matrix}<br />1&amp;5&amp;10\\<br />0&amp;1&amp;5\\<br />0&amp;0&amp;1<br />\end{matrix}<br />\right]\hspace{1cm}A^6=\left[\begin{matrix}<br />1&amp;6&amp;15\\<br />0&amp;1&amp;6\\<br />0&amp;0&amp;1<br />\end{matrix}\right]<br />\hspace{1cm}A^7=\left[\begin{matrix}<br />1&amp;7&amp;21\\<br />0&amp;1&amp;7\\<br />0&amp;0&amp;1<br />\end{matrix}\right]<br />

 A^n=\left[\begin{matrix}<br />1&amp;n&amp;f(n)\\<br />0&amp;1&amp;n\\<br />0&amp;0&amp;1<br />\end{matrix}\right]\\ \\<br />\text{donde: }\\ \\<br />f(1)=0,f(2)=1,f(3)=3,f(4)=6.f(5)=10,f(6)=15,f(7)=21\\ \\<br />f(n)=\dfrac{n(n-1)}{2}\\ \\ \\<br />A^n=\left[\begin{matrix}<br />1&amp;n&amp;\frac{n(n-1)}{2}\\<br />0&amp;1&amp;n\\<br />0&amp;0&amp;1<br />\end{matrix}\right]

Probemos tal fórmula por inducción

(1) para n = 1 se cumple

(2) supongamos que para n = h se cumpla, ahora veamos

 A^{h+1}=A^h\cdot A\\ \\<br />A^{h+1}=\left[\begin{matrix}<br />1&amp;h&amp;\frac{h(h-1)}{2}\\<br />0&amp;1&amp;h\\<br />0&amp;0&amp;1<br />\end{matrix}\right]\cdot \left[\begin{matrix}<br />1&amp;1&amp;0\\<br />0&amp;1&amp;1\\<br />0&amp;0&amp;1<br />\end{matrix}\right]\\ \\ \\<br />A^{h+1}=\left[\begin{matrix}<br />1&amp;n&amp;\frac{(h+1)h}{2}\\<br />0&amp;1&amp;n\\<br />0&amp;0&amp;1<br />\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}<br />1&amp;n&amp;\frac{(h+1)((h+1)-1)}{2}\\<br />0&amp;1&amp;n\\<br />0&amp;0&amp;1<br />\end{matrix}\right]

Por ende la fórmula encontrada es válida.


cancofrancopcyjii: alabado seas, muchas gracias!!!!
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