Question

despreciando la fuerza gravitacional qué fuerza se necesitaría para acelerar una nave espacial de 1200 toneladas del reposo a una décima parte de la velocidad de la luz en 3 días en 2 meses suponiendo que los motores apagaran cuando alcanzará esta velocidad cuando se tardaría en completar un viaje de 5 meses luz en cada uno de los dos casos es un mes = 30 días velocidad de la luz a 300 km por segundo

Answer 1

Para encarar este problema despreciamos la fuerza gravitacional, y al ser la velocidad final una décima parte de la velocidad de la luz despreciamos también los efectos relativistas dado que el factor de Lorentz es:

$\gamma=\sqrt{1-\frac{v}{c}}=\sqrt{1-\frac{0,1c}{c}}=0,95$

Con lo que el error al despreciar los efectos relativistas es del 5%. Podemos aplicar el teorema del impulso y la cantidad de movimiento.

$Ft=mv_f$

Despejando la fuerza queda:

$F=\frac{mv_f}{t}$

Tengo:

$m=1200.1000kg=1,2x10^6kg\\v=3x10^7\frac{m}{s}\\t=2.30.86400s=5,18x10^{6}s$

Reemplazando:

$F=\frac{1,2x10^{6}kg.3x10^{7}\frac{m}{s}}{5,18x10^{6}s}=6,5x10^{6}N$

Se necesitan aplicar 6,5MN a la nave durante 2 meses durante los cuales va a acelerar con una aceleración de:

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{3x10^{7}\frac{m}{s}}{5,18x10^{6}s}=5,79\frac{m}{s^2}$

luego de eso los motores se apagan lo que significa que la nave queda moviéndose a velocidad constante de 0,1c, y la distancia a recorrer es:

$5~meses~luz=3x10^8\frac{m}{s}.(5.30.86400)s=3x10^8.1,296x10^7s=3,89x10^{15}m$

Va a estar acelerando los primeros dos meses, en ese tiempo la distancia cubierta será:

$x_1=\frac{1}{2}at^2=\frac{5,79\frac{m}{s^2}}{2}.(5,18x10^6s)^2=7,77x10^{13}m$

Le queda recorrer a velocidad constante:

$x_2=3,89x10^{15}m-7,77x10^{13}m=3,81x10^{15}m$

El tiempo insumido para recorrer esa distancia es:

$x_2=vt_2=0,1ct_2\\t_2=\frac{x_2}{0,1c}=\frac{3,81x10^{15}m}{3x10^{7}\frac{m}{s}}=1,27x10^8s.$

El tiempo total para recorrer 5 meses luz es:

$t=t_1+t_2=5,18x10^{6}s+1,27x10^{8}s=1,32x10^8s$

Sabemos que un año es:

$1~anho=365d.86400s=3,15x10^{7}s$

Por lo que queda:

$t_{yr}=\frac{1,32x10^{8}}{3,15x10^7}=4,18~anhos.$

Por todo lo expuesto, se necesitan 6,5MN de fuerza para acelerar la nave hasta un décimo de la velocidad de la luz en dos meses y esta va a tardar 4,18 años en completar un viaje de 5 meses luz.