Question

Desde un supermercado se observa el ático de un rascacielos de 400 metros de altura bajo un ángulo de 45°. Calcular la distancia que hay desde el supermercado hasta la puerta del rascacielos.

Answer 1

La distancia desde el supermercado hasta la puerta del rascacielos es de 400 metros.

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.      

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben solo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

Es decir en estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Por ejemplo si se tuvieran los lados 1 k y 2 k, se puede decir que el lado 2 k es el doble del lado 1 k, por lo que no es lo que mide un lado sino que es una proporción entre los lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que una vez conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad.        

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en el resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto,

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 45-45 (por sus ángulos) o 1-1 (por sus lados).

• En este triángulo ambos ángulos miden 45°, por lo que los dos catetos medirán igual, lo que es decir 1 k, mientras que la hipotenusa medirá  k√2. En donde k es siempre una constante.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio

Tenemos un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AC que equivale a la altura del rascacielos, el lado BC que representa la distancia desde el supermercado hasta la puerta del rascacielos, y el lado AC que es la proyección visual desde el observador en el supermercado hasta el ático del rascacielos con un ángulo de elevación de 45°

Solución:

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos la altura del rascacielos, y de un ángulo de elevación de 45° desde el punto de observación hasta el ático del rascacielos

• Altura del rascacielos = 400 metros

• Ángulo de elevación = 45° (ángulo notable)

• Debemos hallar la distancia desde el supermercado hasta la puerta del rascacielos

Vamos a relacionar estos datos con la tangente

Recordando que como tenemos un triángulo notable

$\boxed {\bold { tan (45\°) = 1}}$

Planteamos

$\boxed {\bold { tan (45\°) = \frac{ cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } = \frac{AC}{BC} }}$

$\boxed {\bold { tan (45\°) = \frac{ altura \ del \ rascacielos }{ distancia \ de \ supermercado \ a \ rascacielos } = \frac{AC}{BC} }}$

$\boxed {\bold { distancia \ de \ supermercado \ a \ rascacielos \ (BC) = \frac{ altura \ del \ rascacielos }{ tan (45\°) } }}$

$\boxed {\bold { distancia \ de \ supermercado \ a \ rascacielos \ (BC) = \frac{ 400 \ metros }{ tan (45\°) } }}$

Si

$\boxed {\bold { tan (45\°) = 1}}$

$\boxed {\bold { distancia \ de \ supermercado \ a \ rascacielos \ (BC) = \frac{ 400 \ metros }{1 } }}$

$\boxed {\bold { distancia \ de \ supermercado \ a \ rascacielos \ (BC) = 400 \ metros }}$

La distancia del supermercado al rascacielos = 400 m

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La altura del rascacielos tiene un valor de 400 m

La altura del rascacielos es el cateto opuesto al ángulo notable (de elevación) de 45°

Planteamos

$\boxed {\bold { altura \ del \ rascacielos = 400 \ metros = 1k}}$

Donde despejaremos a la constante k

$\boxed {\bold { 1k =400 \ metros }}$

$\boxed {\bold { k = \frac{ 400 \ metros }{1} }}$

$\boxed {\bold { k = 400 }}$

El valor de la constante k es 400

Al ser un triángulo notable de 45-45 el valor del cateto adyacente- que es la distancia del supermercado hasta el rascacielos- equivale a 1k

Que es la distancia que nos piden hallar

Planteamos

$\boxed {\bold { distancia \ de \ supermercado \ a \ rascacielos \ (BC) = 1k }}$

Reemplazando

$\boxed {\bold { distancia \ de \ supermercado \ a \ rascacielos \ (BC) = 1 \ . \ 400 }}$

$\boxed {\bold { distancia \ de \ supermercado \ a \ rascacielos \ (BC) = 400 \ metros}}$

La distancia del supermercado al rascacielos = 400 m

Nota: En un triángulo rectángulo notable de 45-45, los dos catetos iban a medir lo mismo.