Question

Desde un rascacielos de 150m se tira horizontalmente un proyectil con una velocidad de 200m/s, determina: A) El alcance. B) La velocidad en el punto de impacto.

Answer 1

A) El alcance máximo $\bold { x_{MAX} }$ del proyectil es de 1096 metros

B) La velocidad del proyectil en el punto de impacto es de 207.37 metros por segundo (m/s)

Se trata de un problema de tiro horizontal

El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal $\bold { V_{x} }$ debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que $\bold { V_{y} = 0 }$, luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende

Calculamos el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire del proyectil

$\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g=10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

Consideramos la altura H desde donde se lanzó el proyectil  

$\bold {H= 150 \ m }$

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la ecuación:

$\large\boxed {\bold { y =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\bold{y= 0}$

$\large\boxed {\bold { 0 =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }$

$\boxed {\bold { 2 \ H =g \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { t^{2} = \frac{2 \ H}{g } }}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2 \ H }{g } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2\ . \ 150 \ m }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{ 300 \not m }{10 \ \frac{\not m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{30 \ s^{2} } } }$

$\boxed {\bold { t = 5.47722 \ segundoa } }$

$\large\boxed {\bold { t = 5.48 \ segundos } }$

El tiempo de vuelo o de permanencia en el aire del proyectil es de 5.48 segundos

A) Determinamos el alcance máximo del proyectil

Dado que en el eje X se tiene un MRU para hallar el alcance o la distancia horizontal recorrida por el proyectil, basta multiplicar la velocidad horizontal inicial por el tiempo de vuelo

$\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =V_{x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =200 \ \frac{m}{\not s} \ . \ 5.48\ \not s }}$

$\large\boxed {\bold { d = 1096 \ metros}}$

El alcance máximo $\bold { x_{MAX} }$ del proyectil es de 1096 metros

B) Hallamos la velocidad en el punto de impacto

1) Establecemos el vector velocidad para el tiempo de vuelo de 5.48 segundos

Para el eje x - Eje horizontal

Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial horizontal

$\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}$

$\large\boxed {\bold { {V_x} =200 \ \frac{m}{s} }}$

Para el eje y - Eje vertical

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo

En este movimiento no hay velocidad inicial en el eje Y o vertical

$\bold { V_{y} = 0 }$

$\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { V_{y} =-10 \ \frac{m}{s^{\not 2} } \ . \ 5.48 \not s }}$

$\large\boxed {\bold { V_{y} =-54.8\ \frac{m}{s} }}$

La velocidad en el punto de impacto (para el instante de tiempo en que el cuerpo llega al suelo) se obtiene hallando la velocidad resultante de las componentes horizontal y vertical empleando el teorema de Pitágoras

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }| = \sqrt{(V_{x} )^{2} +(V_{y} )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{\left(200 \ \frac{m}{s} \right)^{2} +\left(-54.8 \ \frac{m}{s}\right )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{40000\ \frac{m^{2} }{s^{2} } +3003.04 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{ 43003.04 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 207.37174 \ \frac{m}{s} }}$

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 207.37 \ \frac{m}{s} }}$

La velocidad del proyectil en el punto de impacto es de 207.37 metros por segundo (m/s)

Se agrega gráfica que evidencia la trayectoria del movimiento