Question

Desde un punto sobre el suelo a 500 pies de la base de un edificio, se observa que el ángulo de elevación hasta la parte superior del edificio es de 24º y que el ángulo de elevación hasta la parte superior del asta bandera del edificio es de 27º. Determina la altura del edificio y la longitud del asta bandera.

Answer 1

La altura del edificio es de 222.60 pies

La longitud del asta bandera es de 32.16 pies  

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.  

Dado que desde cierto punto sobre el suelo se observa la parte inferior de un asta de bandera con un ángulo de elevación de 24° y la parte superior de dicha asta bandera con un ángulo de elevación de 27°:

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El ABC: en donde el lado AC representa la línea visual a la parte superior del edificio -en donde se ubica la base del asta de bandera -, la cual se observa con un ángulo de elevación de 24°, el lado BC equivale a la altura del edificio desde su base hasta su techo en donde se halla la base del asta de bandera, siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo, - de la que no conocemos su magnitud a la cual llamaremos distancia “x”-; teniendo finalmente el lado AB el cual es la distancia desde determinado punto hasta la base del edificio en donde se halla el asta de bandera en su cima, siendo este cateto el adyacente al ángulo dado de este triángulo, del cual conocemos su valor

El ABD: en donde el lado AD representa la línea visual hasta el extremo superior del asta de bandera -colocada en la parte superior del edificio-, la cual es vista con un ángulo de elevación de 27°, el lado BD es la altura del edificio desde su base hasta la parte superior del asta bandera que tiene en su cima, siendo este cateto el opuesto al ángulo de elevación conocido de este triángulo, - donde no conocemos esta longitud a la cual llamaremos distancia “y”- ; teniendo por último, el lado AB -siendo este cateto el adyacente al ángulo dado- el cual es la distancia desde cierto punto a la base del edificio - coincidiendo con el cateto adyacente del primer triángulo-

Donde se pide determinar

La altura "x" del edificio

Y la longitud "h" del asta de bandera

Por tanto si hallamos la altura del edificio hasta su cima -donde se ubica la base del asta de bandera -distancia “x”- y la altura del edificio hasta el extremo superior del asta de bandera -distancia “y”- en donde ambas longitudes son los catetos opuestos a los respectivos ángulos de elevación de los dos triángulos rectángulos

La dimensión de "x" nos dará la altura del edificio

Y la longitud del asta de bandera se reduce a una resta de distancias entre la magnitud de “y” y la magnitud de “x”

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Se empleará la razón trigonométrica tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos para determinar las distancias "x" e "y"

En ABC

Hallamos la distancia x - altura hasta la cima del edificio -que coincide con la altura de la base del asta bandera

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α  $\bold{\alpha = 24^o }$

$\boxed{\bold { tan(24^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(24^o) = \frac{ distancia \ x }{ distancia\ al \ edificio } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = distancia\ al \ edificio \ . \ tan(24^o) } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 500 \ pies \ . \ tan(24^o) } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 500 \ pies \ . \ 0.445228685309 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 222.6143 \ pies } }$

$\textsf{Redondeando }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 222.60 \ pies } }$

Luego la altura del edificio - la cual coincide con la base del asta bandera - es de 222.60 pies

En ABD

Hallamos la distancia y -altura hasta la parte superior del asta bandera-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β  $\bold{\beta = 27^o }$

$\boxed{\bold { tan(27^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(27^o)= \frac{ distancia \ y }{ distancia\ al \ edificio } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = distancia\ al \ edificio \ . \ tan(27^o) } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 500 \ pies \ . \ tan(27^o) } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 500 \ pies \ . \ 0.509525449494} }$

$\boxed{\bold { distancia \ y =254.7627 \ pies } }$

$\textsf{Redondeando }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 254.76 \ pies } }$

Por tanto la altura hasta la parte superior del asta bandera es de 254.76 pies

Hallamos la longitud h del asta bandera

$\boxed{\bold { Longitud \ Asta\ Bandera\ (h) = distancia \ y - distancia \ x } }$

$\bold{distancia \ x = altura \ edificio}$

$\boxed{\bold { Longitud \ Asta\ Bandera\ (h) = 254.76 \ pies - 222.60 \ pies } }$

$\large\boxed{\bold { Longitud \ Asta\ Bandera\ (h) = 32.16 \ pies } }$

La longitud del asta bandera es de 32.16 pies

Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del ejercicio propuesto