Question

Desde un punto situado a 35m del pie de un árbol se observa la parte súperior con un angulo de elevación de 48°. Calcula la altura del árbol. ???????????.

Answer 1

La altura del árbol es de aproximadamente 38.90 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

La altura del árbol junto con el suelo donde este se asienta forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del árbol, el lado AC (b) que representa la distancia desde el pie del árbol hasta cierto punto sobre el suelo. Teniendo finalmente el lado AB (c) que es la longitud visual desde dicho punto sobre el suelo hasta el extremo superior del árbol el cual es visto con un ángulo de elevación de 48°

Donde se pide hallar:

La altura del árbol

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la distancia desde el pie del árbol hasta cierto punto en el suelo y de un ángulo de elevación de 48°

• Distancia hasta el árbol = 35 metros

• Ángulo de elevación = 48°

• Debemos hallar la altura del árbol

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia desde cierto punto en el suelo hasta el pie del árbol-, y conocemos un ángulo de elevación de 48° y debemos hallar la altura del árbol - la cual es el cateto opuesto al ángulo dado del triángulo rectángulo determinaremos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Hallamos la altura del árbol

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α  $\bold{\alpha =48^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(48^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(48^o) = \frac{ altura \ del \ arbol }{ distancia\ al \ arbol } } }$

$\boxed{\bold { altura \ del \ arbol = distancia\ al \ arbol\ . \ tan(48^o) } }$

$\boxed{\bold { altura \ del \ arbol= 35 \ m\ . \ tan(48^o) } }$

$\boxed{\bold { altura \ del \ arbol = 35 \ m\ . \ 1.110612514829 } }$

$\boxed{\bold { altura \ del \ arbol = 38.87 \ metros } }$

$\textsf{Redondeando por exceso }$

$\large\boxed{\bold { altura \ del \ arbol \approx 38.90 \ m } }$

Luego la altura del árbol es de aproximadamente 38.90 metros

Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del problema propuesto