Question

Desde un punto que se encuentra a 56m del pie de una torre el ángulo de elevación para la parte más alta es 45°. ¿Cuánto debe acercar dicho punto para que el nuevo ángulo de elevación sea 53°?.

Answer 1

El punto se debe de acercar 14 metros para que el nuevo ángulo de elevación sea de 53°

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde los triángulos de 45-45 y 37-53 resultan lo que se denomina triángulo notable

Representamos la situación del problema en dos triángulos rectángulos:

El ADC: el cual está conformado por el lado CD que equivale a la altura de la torre, -donde este cateto es el mismo para ambos triángulos-, el lado AC que representa la distancia sobre el suelo desde el primer punto de avistamiento hasta el pie de la torre -donde conocemos el valor de esa distancia - a la cual llamaremos distancia 1-, y el lado AD es la longitud visual desde cierto punto de observación- hasta la parte superior de la torre vista con un ángulo de elevación de 45°

El BCD: el cual está configurado por el lado CD que equivale a la altura de la torre, el lado BC que es la distancia sobre el plano del suelo desde el segundo punto de avistamiento hasta el pie de la torre. Esta distancia es de valor desconocido y la llamamos distancia 2. Y por último tenemos el lado DB que equivale a la longitud visual -desde el nuevo punto de avistamiento- hasta la parte superior de la torre vista con un ángulo de elevación de 53°

Donde se pide hallar:

Cuánto se debe acercar el primer punto de avistamiento para que el nuevo ángulo de elevación sea de 53°

Llamando a la distancia de acercamiento al nuevo punto "x"

El valor de "x" resulta en una resta de distancias entra la distancia conocida 1 y la distancia 2 que debemos calcular

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Siendo la altura "h" de la torre el cateto opuesto a los ángulos dados y en donde las diferentes distancias hasta la torre son los catetos adyacentes de los respectivos ángulos de elevación

Por tanto emplearemos la razón trigonométrica tangente para determinar la incógnita

Razones trigonométricas con ángulos notables

En ACD

Hallamos la altura h de la torre

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α  $\bold{\alpha = 45^o }$

Como el triángulo es notable y de 45° los 2 catetos miden lo mismo, pudiendo aseverar que la altura de la torre será igual que la distancia 1 desde el primer punto de avistamiento hasta el pie de la torre

Los cálculos nos darán la razón

$\boxed{\bold { tan(45^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(45^o)= \frac{ altura \ torre }{ distancia \ 1 } } }$

$\boxed{\bold { altura \ torre = distancia \ 1 \ . \ tan(45^o) } }$

$\boxed{\bold {altura \ torre = 56\ m \ . \ tan(45^o) } }$

$\boxed{\bold {altura \ torre= 56\ m \ . \ 1 } }$

$\large\boxed{\bold { altura \ torre = 56 \ metros } }$

La altura de la torre es de 56 metros

En BCD

Hallamos la distancia 2- desde el segundo punto de avistamiento hasta el pie de la torre-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β $\bold{\beta = 53^o}$

$\boxed{\bold { tan(53^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(53^o) = \frac{ altura \ torre }{ distancia \ 2 } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ 2 = \frac{ altura \ torre }{ tan(53^o) } } }$

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 53 grados es } \bold{ \frac{4}{3} }$

$\boxed{\bold { distancia \ 2 = \frac{56 \ m }{ \frac{4 }{3} } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ 2 = 56 \ m \ . \ \frac{3}{4 } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ 2 = \frac{168}{4 } \ m } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ 2 = 42 \ metros } }$

La distancia 2 -desde el nuevo punto de avistamiento hasta el pie de la torre es de 42 metros-

Determinamos cuánto se debe acercar el primer punto de avistamiento para un nuevo ángulo de elevación de 53°

$\boxed{\bold { x = distancia \ 1\ -\ distancia \ 2 } }$

$\boxed{\bold { x= 56 \ m -\ 42 \ m } }$

$\large\boxed{\bold { x = 14 \ metros } }$

El primer punto se debe de acercar 14 metros para que el nuevo ángulo de elevación sea de 53°

Se agrega gráfico para mejor comprensión del ejercicio propuesto