Question

Desde un punto en tierra ubicado a 80m de una torre se observa su parte mas alta con un Angulo de elevación de 37° ¿Cuánto mide la altura de la torre?.

Answer 1

La altura de la torre es de 60 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.      

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son aquellos determinados triángulos rectángulos que se distinguen de otros debido a que poseen determinadas características establecidas.

Los triángulos notables tienen en sus vértices ángulos interiores notables siendo posible establecer una relación entre tales ángulos y las dimensiones de sus lados.

Por tanto en esta clase de triángulos al poseer en sus ángulos ciertas dimensiones determinadas y pudiendo relacionar los ángulos notables con los lados del triángulo (y viceversa) se puede definir una constante de proporcionalidad.

Donde las relaciones entre los lados y los ángulos permanecen constantes

Llamamos a esa proporción entre los lados con la letra "k", para indicar dicha proporcionalidad entre sus lados. Que como se mencionó es una constante.

Luego hallado el valor de "k" nos permitirá determinar los lados de un triángulo notable con facilidad.

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en la resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 37-53 (por sus ángulos) o 3-4-5 (por sus lados).

• Este triángulo tiene un ángulo de 37° y otro de 53°, donde el lado opuesto al ángulo de 37° medirá 3k y el lado opuesto al ángulo de 53° medirá 4k y la hipotenusa medirá 5k. Donde k es siempre una constante.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura de la torre, el lado AC (b) que representa la distancia desde el punto en tierra de observación hasta la base de la torre y el lado AB (c) equivale a la línea visual  desde el punto en tierra hasta la más alta de la torre con un ángulo de elevación de 37°

Solución

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos

• Distancia hasta la base de la torre = 80 metros

• Ángulo de elevación = 37°

• Debemos hallar la altura de la torre

Como conocemos el cateto adyacente (distancia a la torre) al ángulo de elevación dado y buscamos el valor del cateto opuesto (altura de la torre), relacionamos estos datos con la tangente del ángulo α

Como tenemos un triángulo notable

$\large\boxed{\bold { tan(37^o) = \frac{3}{4} }}$

$\boxed{\bold { tan(37^o)= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(37^o) = \frac{ altura\ de\ la \ torre }{distancia \ a \ la \ torre } } }$

$\boxed{\bold { altura\ de\ la \ torre = distancia \ a \ la \ torre\ . \ tan(37^o)} }$

$\boxed{\bold { altura\ de\ la \ torre = 80 \ metros\ . \ tan(37^o)} }$

Si

$\boxed{\bold { tan(37^o) = \frac{3}{4} }}$

$\boxed{\bold { altura\ de\ la \ torre = 80 \ metros\ . \ \frac{3}{4} } }$

$\boxed{\bold { altura\ de\ la \ torre = \frac{ 240 }{ 4 } \ m }}$

$\large\boxed{\bold { altura\ de\ la \ torre =60 \ metros } }$

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La distancia desde el punto en tierra de observación hasta la base de la torre es de 80 metros

Y es el lado adyacente al ángulo de 37° por lo tanto mide 4k

Planteamos

$\boxed{\bold { distancia \ a \ la \ torre=80 \ m= 4k }}$

Despejamos a la constante k

$\boxed{\bold {4 k = 80 \ m }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{80 \ m }{4 } }}$

$\boxed{\bold { k = 20 }}$

El valor de la constante k es de 20

La altura de la torre es el lado opuesto al ángulo de 37°, por lo tanto medirá 3k

Planteamos

$\boxed{\bold { altura\ de\ la \ torre = 3k }}$

Reemplazamos el valor de la constante k

$\boxed{\bold { altura\ de\ la \ torre = 3 \ . \ 20 }}$

Obteniendo

$\large\boxed{\bold { altura\ de\ la \ torre =60 \ metros } }$

Se arriba al mismo resultado