Question

Desde un punto en el suelo, un estudiante observa la parte más alta de la catedral de Lima con un ángulo de elevación de 53° cuando se encuentra separado 12 metros de su base. ¿cuál es la altura de la catedral?

Answer 1

La altura de la Catedral de Lima es de 16 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo dado de 37-53 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable

La altura de la catedral junto con el suelo donde esta se asienta forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura de la catedral, el lado AC (b) que representa la distancia horizontal desde determinado punto en el suelo -ubicado en A, donde se encuentra el estudiante- hasta la base de la catedral y el lado AC (c) que es la longitud visual desde los ojos del observador hasta la parte más alta de la catedral, la cual es vista con un ángulo de elevación de 53°

Donde se pide hallar:

La altura de la Catedral de Lima

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la distancia desde cierto punto en el suelo hasta la base de la catedral y de un ángulo de elevación de 53°

• Distancia hasta la base de la catedral = 12 metros

• Ángulo de elevación = 53°

• Debemos hallar la altura de la Catedral de Lima

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia desde cierto punto en el suelo - donde se ubica el estudiante- hasta la base de la catedral y conocemos un ángulo de elevación de 53° y debemos hallar la altura de la catedral, la cual es el cateto opuesto al ángulo dado del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Razones trigonométricas con ángulos notables

Hallamos la altura de la Catedral de Lima

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha =53^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(53^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(53^o) = \frac{ altura \ de\ la \ catedral }{ distancia \ a \ la \ catedral } } }$

$\boxed{\bold {altura \ de\ la \ catedral = distancia \ a \ la \ catedral \ . \ tan(53^o) } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 53 grados es } \bold {\frac{ 4 } {3 } }$

$\boxed{\bold {altura \ de\ la \ catedral = 12 \ metros \ . \ \frac{4}{3} } }$

$\boxed{\bold {altura \ de\ la \ catedral = \frac{48}{3} \ metros } }$

$\large\boxed{\bold {altura \ de\ la \ catedral = 16 \ metros } }$

Luego la altura de la Catedral de Lima es de 16 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto