Question

Desde un punto del suelo se ve la copa de un árbol bajo un ángulo de 42˚. Si nos alejamos 25 m. hacia otro punto del suelo alineado con el anterior y con el pie del árbol, vemos el copo bajo un ángulo de elevación de 24˚. Calcular la altura del árbol.

Answer 1

La altura del árbol es de aproximadamente 22 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Solución

Representamos la situación del problema en dos triángulos rectángulos:    

El triángulo rectángulo ABC  el cual está conformado por el lado AC que equivale a la altura del árbol, el lado BC que representa la distancia sobre la línea del suelo del observador hasta la base del árbol - donde no conocemos la totalidad de esa distancia sino sólo una porción: la del segmento DB: donde el observador se alejó 25 metros hacia otro punto del suelo, y no sabemos la longitud del segmento DC - al cual llamaremos variable x - y el lado AB es la proyección visual hacia la copa del árbol con un ángulo de elevación de 24°   

El triángulo rectángulo ACD está configurado por el lado AC que equivale a la altura del árbol, el lado DC que es la distancia sobre el plano del suelo del observador hasta el punto hasta la copa del árbol antes de haber retrocedido en línea recta desde allí 25 metros. Esta distancia es de valor desconocido y es a la que llamamos variable x. Y por último tenemos el lado AD que equivale a la proyección visual hacia la copa del árbol con un ángulo de elevación de 42°   

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto

• Nos vamos a ocupar de las relaciones trigonométricas entre los dos triángulos rectángulos, prescindiendo del triángulo oblicuángulo ABD en esta clase de problema.

Conocemos en forma parcial la distancia hacia el punto donde se encuentra la base del árbol y sabemos de dos ángulos de elevación hacia su copa, uno de ellos de 24° y el otro de 42°, dependiendo de cómo se ubique el observador en el plano del suelo mientras observa la copa del árbol  en ambos casos.  

• Distancia del observador hacia la base del árbol = 25 m + x

• Ángulo de elevación = 24°

• Ángulo de elevación = 42°  

• Debemos hallar la altura del árbol

Para resolver este ejercicio vamos a plantear un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, a las que llamaremos variable x y variable y 

Donde x será la distancia a hallar sobre la línea de suelo hasta la base del árbol antes de haberse alejado de ese punto 25 metros

Y dónde la incógnita y será la altura que tiene el árbol

La tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Por tanto

Dado que la altura "h" del árbol es el cateto opuesto a los ángulos y en donde las diferentes distancias hacia el árbol son el cateto adyacente

En donde la altura "h" del árbol es un valor que no cambiará para ninguna de las distancias de donde el observador se encuentre

Luego

Como conocemos de manera parcial la medida del cateto adyacente, los dos ángulos de elevación según se sitúe la persona en un punto del plano del suelo, y nos piden hallar la altura del árbol relacionamos los datos conocidos con la tangente 

Hallamos la distancia x

Planteamos un sistema de ecuaciones

$\boxed {\bold {tan (42^o) = \frac{y}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to y = x \ . \ tan(42^o ) } }$

$\boxed {\bold {tan (24^o) = \frac{y}{x +100} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to y = (x + 25) \ . \ tan (24^o) } }$

Igualamos las dos expresiones para hallar el valor de x

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(42^o)= (x + 25) \ . \ tan(24^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(42^o) = x \ . \ tan(24^o) +25 \ . \ tan(24^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(42^o) - x \ . \ tan(24^o) =25 \ . \ tan(24^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ (tan(42^o) - \ tan(24^o) )=25\ . \ tan(24^o) }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 25 \ . \ tan(24^o) }{ tan(42^o) - \ tan(24^o) } }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 25 \ . \ 0.4452286853 }{ 0.9004040442 - 0.4452286853 } }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 11.130717132 }{ 0.4551753589 } }}$

$\boxed { \bold {x = 24.4536 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold {x = 24.45 \ metros }}$

La medida de la distancia x es de aproximadamente 24.45 metros

Hallamos la altura del árbol

Si

$\boxed {\bold {y = x \ . \ tan(42^o)}}$

y

$\boxed { \bold {x = \frac{ 25 \ . \ tan(24^o) }{ tan(42^o) - \ tan(24^o) } }}$

Reemplazando

$\boxed { \bold {h = \frac{ 25 \ . \ tan(24^o) \ .\ tan(42^o) }{ tan(42^o)- \ tan(24^o) } }}$

$\boxed { \bold {h = \frac{ 25 \ . \ 0.4452286853 \ .\ 0.9004040442 }{ 0.9004040442 - 0.4452286853 } }}$

$\boxed { \bold {h = \frac{ 10.022142722 }{ 0.4551753589 } }}$

$\boxed { \bold {h = 22.01 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold {h = 22\ metros }}$

La altura del árbol es de aproximadamente 22 metros    

Se adjunta gráfico que representa la situación