Question

Desde un punto a 18 metros del pie de un árbol se observa el extremo superior del árbol con un ángulo de 62 grados.
¿Cuál es la altura del árbol?

Answer 1

La altura del árbol es de aproximadamente 33.85 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del árbol, el lado AC (b) que representa la distancia desde determinado punto hasta el pie del árbol y el lado AB (c) que es la línea visual desde donde se ubica el observador hasta el extremo superior del árbol con un ángulo de elevación de 62°

Donde se pide hallar:

La altura del árbol

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la distancia desde determinado punto hasta el pie del árbol y de un ángulo de elevación de 62°

• Distancia hasta el pie del árbol = 18 metros

• Ángulo de elevación = 62°

• Debemos hallar la altura del árbol

Hallamos la altura del árbol

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia desde cierto punto hasta el pie del árbol- y conocemos un ángulo de elevación de 62° y debemos hallar la altura del árbol, la cual es el cateto opuesto del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(62^o ) = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } }}$

$\boxed { \bold { tan(62^o ) = \frac{altura \ del \ arbol }{ distancia \ al \ pie\ del \ arbol } }}$

$\boxed { \bold {altura \ del \ arbol= distancia \ al \ pie\ del \ arbol \ . \ tan(62^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ del \ arbol = 18 \ metros \ . \ tan(62^o) }}$

$\boxed { \bold { altura \ del \ arbol = 18 \ metros \ . \ 1.8880726465346 }}$

$\boxed { \bold { altura \ del \ arbol \approx 33.853076 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { altura \ del \ arbol \approx 33.85 \ metros }}$

La altura del árbol es de aproximadamente 33.85 metros