Question

Desde un muelle se observa a la izquierda un barco a una distancia de 45 km y a la
derecha otro barco a una distancia de 21 km. ¿Cuál es la distancia entre los barcos si el
ángulo que se forma entre las 2 visuales es de 56°?

Answer 1

La distancia entre los dos barcos es de aproximadamente 37.54 kilómetros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos, es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces se cumplen las relaciones:

$\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

$\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(C ) }}$

Se representa la situación en un triángulo ABC: en donde el vértice C representa el punto donde se ubica el muelle -desde donde se observan dos barcos A y B - a la izquierda y a la derecha respectivamente- en donde los lados AC (b) y BC (a) equivalen a las distancias y visuales respectivas desde el muelle hasta cada uno de los dos barcos: estando el Barco A -a la izquierda- ubicado a 45 kilómetros del muelle y el Barco B -a la derecha- situado a 21 kilómetros de ese mismo punto. Donde desde el punto donde se encuentra el muelle -en el vértice C- ambas longitudes visuales forman un ángulo de 56°

Donde se pide determinar:

La distancia entre los dos barcos

Hallamos la distancia entre los dos barcos A y B

La cual está dada por el lado faltante del triángulo el lado AB (c)

Conocemos el valor de dos lados y la dimensión del ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para determinar la distancia entre los dos barcos

Por el teorema del coseno podemos expresar:

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(C ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c ^{2} = ( 21 \ km) ^{2} + ( 45 \ km) ^{2} - 2 \ . \ 21 \ km \ . \ 45\ km \ . \ cos(56^o) }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 441 \ km ^{2} + 2025 \ km^{2} - 1890 \ km^{2} \ . \ cos(56^o) }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 2466 \ km^{2} - 1890 \ km^{2} \ . \ cos(56^o) }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 2466 \ km^{2} - 1890 \ km^{2} \ . \ 0.5 59192903471 }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 2466 \ km^{2} -1056.87458756019\ km^{2} }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 1409.12541243781 \ km^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{ 1409.12541243781 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{ 1409.12541243781\ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 37.5383 \ km}}$

$\large\boxed {\bold { c\approx 37.54 \ km}}$

La distancia entre las dos barcos es de aproximadamente 37.54 kilómetros

Conocidos los tres lados del triángulo

$\bold{a = 21 \ km }$

$\bold{b = 45 \ km }$

$\bold{c =37.54 \ km }$

Aunque el enunciado no lo pida

Calculamos el ángulo A -comprendido desde el Barco A hasta la posición del Barco B  y hasta el punto donde se encuentra el muelle-

Por el teorema del coseno podemos expresar:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

Luego

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2} }{2 \ . \ b \ . \ c } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{(45 \ km)^{2} + (37.54 \ km) ^{2} - (21 \ km)^{2} }{2 \ . \ 45\ km \ . \ 37.54 \ km } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{2025 \ km^{2} + 1409.2516 \ km^{2} - 441\ km^{2} }{3378.6\ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{3434.2516 \ km^{2} - 441 \ km^{2} }{3378.6 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{2993.2516 \not km^{2} }{3378.6 \not km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= 0.8859443556503 }}$

$\textsf{Aplicamos la inversa del coseno para hallar el \'angulo}$

$\boxed {\bold {A=arccos\left(0.8859443556503 \right ) }}$

$\boxed {\bold {A= 27.63204^o }}$

$\large\boxed {\bold {A=27.63^o }}$

Hallamos el ángulo B  -comprendido desde el Barco B hasta la ubicación del Barco A  y hasta el punto donde se encuentra el muelle-

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

Como ya conocemos dos de los ángulos del triángulo determinamos el valor del tercero

Planteamos

$\boxed {\bold {180^o= A +B +C }}$

$\boxed {\bold {180^o= 27.63^o + B +56^o }}$

$\boxed {\bold {B = 180^o-27.63^o -56 ^o }}$

$\large\boxed {\bold {B = 96.37^o }}$

Se agrega gráfico para comprender las relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo planteadas