Question

Desde un helicóptero que vuela a 600 metros sobre el nivel del mar se miden los ángulos de depresión de dos buques que forman con el helicóptero un plano vertical, estando además a un mismo lado de él, obteniéndose 37° y 53°. Calcula la distancia entre ambos buques.

Answer 1

La distancia entre ambos buques es de 350 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

El triángulo dado es un triángulo notable.

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben solo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

En estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Y k a la vez es una constante, que una vez conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad.

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en el resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto,

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 37-53 (por sus ángulos) o 3-4-5 (por sus lados)

• Este triángulo tiene un ángulo de 37° y otro de 53°, donde el lado opuesto al ángulo de 37° medirá 3k, y el lado opuesto al ángulo de 53° medirá 4k y la hipotenusa medirá 5k . En donde k es siempre una constante.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto,

Tendremos dos triángulos ABC y ACD

En ambos triángulos el lado AC equivale a la altura del helicóptero, el lado CB representa la distancia en vertical desde el helicóptero hasta el buque más cercano y es una incógnita llamada "y", el lado CD que representa la distancia en vertical desde el helicóptero hasta el buque más lejano y es una incógnita llamada "x" y el lado AB que es la proyección visual bajo ángulos de depresión de 37° y 53°

Halladas x e y se determinará la distancia entre los dos buques

Solución

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Distancia "y"

Relacionamos los datos con la tangente

Como tenemos un triángulo notable

$\boxed {\bold { tan (53)\° = \frac{4}{3} }}$

$\boxed {\bold { tan (53)\° = \frac{cateto \ opuesto}{ cateto \ adyacente} }}$

$\boxed {\bold { tan (53)\° = \frac{altura \ del \ helic\'optero}{ distancia \ y } }}$

$\boxed {\bold { distancia \ y= \frac{altura \ del \ helic\'optero}{ tan (53)\° } }}$

$\boxed {\bold { distancia \ y= \frac{600 \ metros }{ tan (53)\° } }}$

Si

$\boxed {\bold { tan (53)\° = \frac{4}{3} }}$

$\boxed {\bold { distancia \ y= \frac{600 \ metros }{ \frac{4}{3} } }}$

$\boxed {\bold { distancia \ y= 600 \ metros \ . { \frac{3}{4} } }}$

$\boxed {\bold { distancia \ y= 450 \ metros }}$

La distancia y es de 450 m

Distancia "x"

Relacionamos los datos con la tangente

Como tenemos un triángulo notable

$\boxed {\bold { tan (37)\° = \frac{3}{4} }}$

$\boxed {\bold { tan (37)\° = \frac{cateto \ opuesto}{ cateto \ adyacente} }}$

$\boxed {\bold { tan (37)\° = \frac{altura \ del \ helic\'optero}{ distancia \ x } }}$

$\boxed {\bold { distancia \ x= \frac{altura \ del \ helic\'optero}{ tan (37)\° } }}$

$\boxed {\bold { distancia \ x= \frac{600 \ metros }{ tan (37)\° } }}$

Si

$\boxed {\bold { tan (37)\° = \frac{3}{4} }}$

$\boxed {\bold { distancia \ x= \frac{600 \ metros }{ \frac{3}{4} } }}$

$\boxed {\bold { distancia \ x= 600 \ metros \ . { \frac{4}{3} } }}$

$\boxed {\bold { distancia \ x= 800 \ metros }}$

La distancia x es de 800 m

Distancia entre los Buques

Para hallar la distancia de separación entre ambos buques restamos las dos incógnitas halladas "x" e "y "

$\boxed {\bold { Distancia \ entre \ Buques = Distancia \ x - \ Distancia \ y}}$

$\boxed {\bold { Distancia \ entre \ Buques = 800 \ metros - \ 450 \ metros }}$

$\boxed {\bold { Distancia \ entre \ Buques = 350 \ metros }}$

La distancia entre ambos buques es de 350 m

Método 2

Hallando el valor de la constante k

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y ángulos.

Aunque se trate del mismo triángulo notable de 37°-53°, al haber dos triángulos las relaciones entre lados y ángulos se invierten en ambos catetos. Ya que para un buque se tiene un ángulo de depresión de 37° y para el otro buque uno de 53°

Para saber como hallar proporciones entre los lados y ángulos en triángulos notables se deja la explicación en un archivo adjunto