Question

desde un helicoptero que se encuentra a 5600 metros de altura se obserban dos ciclistas en movimiento en la misma direccion y sentido con angulo de depresion 45° y 33° respectivamente. determine la distancia entre los dos ciclistas ​

Answer 1

La distancia entre los dos ciclistas es de 3023.24 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El ACD: el cual está conformado por el lado CD que equivale a la altura a la que se encuentra el helicóptero, -donde este cateto es el mismo para ambos triángulos- , el lado AC que representa la distancia desde cierto punto -ubicado en C- sobre el plano del suelo, -medido perpendicularmente desde la posición del helicóptero- hasta el ciclista más lejano, -donde no conocemos esta longitud a la cual llamaremos distancia "x"-, y el lado AD que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en el helicóptero- hasta un ciclista, el cual es visto con un ángulo de depresión de 33°

El BCD: el cual está configurado por el lado CD que equivale a la altura a la que se encuentra el helicóptero, el lado CB que es la distancia desde cierto punto -ubicado en C- sobre el plano del suelo, -medido perpendicularmente desde el punto donde se encuentra el helicóptero- hasta el ciclista más cercano, -de la que no conocemos su magnitud a la cual llamaremos distancia "y"- y el lado DB que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en el helicóptero- hasta el otro ciclista, el cual es visto con un ángulo de depresión de 45°

Donde se pide determinar la distancia entre los dos ciclistas

Siendo la distancia "x" la longitud hasta el ciclista más lejano desde cierto punto en tierra medido verticalmente hasta donde se encuentra el helicóptero

E "y" la distancia hasta el ciclista más cercano desde cierto punto en tierra medido verticalmente hasta donde se encuentra el helicóptero

Halladas las distancias "x" e "y", determinaremos la distancia entre ambos ciclistas restando de la distancia "x" la distancia "y"

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se trasladan los ángulos de depresión de 33° y de 45° a los puntos A y B respectivamente para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en el gráfico adjunto

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Como sabemos el valor del cateto opuesto a los ángulos dados -que es la altura a la que se encuentra el helicóptero- y conocemos los ángulos de depresión de 33° y de 45° y debemos hallar las distancias "x" e "y", - ambos catetos adyacentes- en cada uno de los triángulos rectángulos determinaremos ambas dimensiones mediante la razón trigonométrica tangente de los respectivos ángulos de depresión

En ACD:

Hallamos la distancia "x" -distancia hasta el ciclista más lejano-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha =33^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(33^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(33^o) = \frac{ altura\ helicoptero }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ helicoptero }{ tan(33^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 5600 \ m \ }{ tan(33^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 5600 \ m \ }{ 0.649407593198} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 8623.243 \ metros } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 8623.24 \ metros } }$

Por tanto la distancia x - hasta el ciclista más lejano- es de 8623.24 metros

En BCD:

Hallamos la distancia "y" -distancia hasta el ciclista más cercano-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β  $\bold{\beta = 45^o}$

Como el triángulo es notable y de 45° los 2 catetos miden lo mismo, pudiendo aseverar que la distancia hasta el ciclista más cercano será igual que la altura del helicóptero

Los cálculos nos darán la razón

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(45^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(45^o) = \frac{ altura\ helicoptero }{ distancia \ y } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ altura\ helicoptero }{ tan(45^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ 5600 \ m \ }{ tan(45^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ 5600 \ m \ }{ 1} } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 5600 \ metros } }$

Luego la distancia y - hasta el ciclista más cercano- es de 5600 metros

Hallamos la distancia entre los dos ciclistas

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Ciclistas = distancia \ x -\ distancia \ y } }$

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Ciclistas= 8623.24 \ m -\ 5600 \ m } }$

$\large\boxed{\bold {Distancia \ entre \ Ciclistas= 3023.24 \ metros } }$

La distancia entre los dos ciclistas es de 3023.24 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto