Question

desde un faro situado a 50 metros sobre el nivel del mar se observan dos barcos:uno se ve bajo un angulo de depresion de 30°y otro(alineado como el primero y con el faro)bajo un angulo de depresion de 10°. calcula la distancia que hay entre los dos barcos​

Answer 1

La distancia entre los dos barcos es de 196.96 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El triángulo ACD donde el lado CD equivale a la altura del faro, -donde este cateto es el mismo para ambos triángulos- , el lado AC que representa la distancia desde la base del faro hasta el barco más lejano -donde no conocemos esta longitud a la cual llamaremos distancia "x"-, y el lado AD que es la visual a la embarcación con un ángulo de depresión de 10°

Y el triángulo BCD el cual está conformado por el lado CD que equivale a la altura del faro, el lado CB que es la distancia desde la base del faro hasta el barco más cercano, -de la que no conocemos su magnitud a la cual llamaremos distancia "y"- y el lado DB que es la visual a la embarcación con un ángulo de depresión de 30°

Donde se pide hallar la distancia entre ambos barcos

Siendo la distancia "x" la longitud hasta la embarcación más lejana desde la base del faro

E "y" la distancia hasta la embarcación más cercana de la base del faro

Halladas las distancias "x" e "y", determinaremos la distancia entre ambos barcos restando de la distancia "x" la distancia "y"

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se trasladan los ángulos de 10° y de 30° a los puntos A y B respectivamente para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en el gráfico adjunto

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto opuesto -que es la altura del faro- y conocemos los ángulos de depresión de 10° y de 30° y debemos hallar las distancias "x" e "y", - ambos catetos adyacentes- en cada uno de los triángulos rectángulos determinaremos ambas distancias mediante la razón trigonométrica tangente de los ángulos respectivos

Trabajamos en el triángulo ACD

Hallamos la distancia "x" -distancia hasta el barco más lejano-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha = 10^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(10^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(10^o) = \frac{ altura\ faro }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ faro \ }{ tan(10^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 50\ m \ }{ tan(10^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 50\ m \ }{ 0.176326980708 } } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 283.56 \ m } }$

Luego la distancia x - hasta el barco más lejano- es de 283.56 metros

Trabajamos en el triángulo BCD

Hallamos la distancia "y" -distancia hasta el barco más cercano-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo  β $\bold{\beta = 30^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(30^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(30^o) = \frac{ altura\ faro }{ distancia \ y } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ altura\ faro \ }{ tan(30^o) } } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 30 grados es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } {3 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ altura\ faro }{ \frac{\sqrt{3} }{3} } }}$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 50 \ m \ . \ \frac{3}{\sqrt{3} } } }$

$\textsf{Operamos para quitar la ra\'iz del denominador}$

$\boxed{\bold { distancia\ y = 50 \ m \ . \ \frac{3}{ \sqrt{3} } \ .\ \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } } }$

$\boxed{\bold { distancia\ y = 50 \ m \ . \ \frac{3 \sqrt{3} }{( \sqrt{3})^{2} } } }$

$\boxed{\bold { distancia\ y = 50 \ . \ \frac{\not3 \sqrt{3} }{\not3 } \ metros } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 50\sqrt{3} \ metros=86.6 \ metros } }$

Hallamos la distancia entre los dos barcos

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Barcos = distancia \ x -\ distancia \ y } }$

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Barcos= 283.56 \ m -\ 86.6 \ m } }$

$\large\boxed{\bold {Distancia \ entre \ Barcos = 196.96\ metros } }$

La distancia entre los dos barcos es de 196.96 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto