Question

desde un faro de 22 m de altura un vigilante observa un pequeño barco ala lejanía formado un ángulo de depresión de 25° entre su línea de visibilidad Cuántos metros se separa el barco del faro​

Answer 1

La distancia de separación entre el barco y el faro es de aproximadamente 47.18 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del faro -donde se encuentra el vigilante avistando un pequeño barco a la lejanía-, el lado AC (b) que representa la distancia horizontal desde la base del faro hasta el barco -ubicado en A- y el lado AC (c) que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en lo alto del faro- hasta la embarcación, la cual es vista con un ángulo de depresión de 25°

Donde se pide hallar:

La distancia de separación entre el barco y el faro

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 25° al punto A para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la altura del faro donde se encuentra el observador y de un ángulo de depresión de 25°

• Altura del faro = 22 metros

• Ángulo de depresión = 25°

• Debemos hallar a qué distancia desde la base del faro se separa el barco

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto opuesto al ángulo dado -que es la altura del faro- donde se ubica el observador-, y conocemos un ángulo de depresión de 25° y debemos hallar a qué distancia se separa el barco de la base del faro- el cual es el cateto adyacente al ángulo dado del triángulo rectángulo determinaremos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Hallamos la distancia de separación entre el barco y la base del faro

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha =25^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(25^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(25^o) = \frac{ altura \ del \ faro }{ distancia \ al \ barco } } }$

$\boxed{\bold {distancia \ al \ barco = \frac{ altura \ del \ faro }{ tan(25^o) } } }$

$\boxed{\bold {distancia \ al \ barco = \frac{ 22 \ metros }{ tan(25^o) } } }$

$\boxed{\bold {distancia \ al \ barco = \frac{ 22 \ metros }{ 0.466307658155 } }}$

$\boxed{\bold { distancia \ al \ barco\approx 47.1791522 \ metros } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ al \ barco \approx 47.18 \ metros } }$

Luego la distancia de separación entre el barco y el faro es de aproximadamente 47.18 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto