Question

Desde un banco B se emite un aviso de alarma que se reciben en dos comisarías A y C, distantes entre sí 5 kilómetros. Desde las comisarías se mide en un plano de la ciudad los ángulos A = 27° y C = 35°. Calcula la distancia del banco a cada una de las comisarías.

Answer 1

La distancia del banco ubicado en el punto B es de aproximadamente 3,25 kilómetros hasta la comisaría A y de aproximadamente 2,57 kilómetros hasta la comisaría C    

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera. En este caso se trata de un triángulo oblicuángulo.

Para este problema vamos a configurar un imaginario triángulo

Este imaginario triángulo ABC está conformado por el lado AC (lado b) que equivale a la distancia horizontal de separación entre los puntos A y C: las cuales son las dos comisarías en donde se recibieron el aviso de alarma emitido por el banco, el lado AB (lado c) que representa la distancia entre el banco, ubicado en el vértice B, y la comisaría A y el lado BC (lado a) que es la distancia entre el banco, ubicado en el punto B, y la comisaría C.

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno - también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\boxed {\bold { \frac{a }{sen( \alpha) } = \frac{b}{sen ( \beta) } = \frac{ c}{sen (\gamma) } }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Hallando el valor del ángulo γ

Por enunciado sabemos el valor de dos de los ángulos del triángulo oblicuángulo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos:

$\boxed {\bold { 180\° = 27\° + 35\° + \gamma }}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180\° - 27\° - 35\° }}$

$\boxed {\bold {\gamma = 118\° }}$

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\boxed {\bold { \frac{a }{sen( \alpha) } = \frac{b}{sen ( \beta) } = \frac{ c}{sen (\gamma) } }}$

Hallando la distancia del lado BC (lado a)

Distancia del banco ubicado en el punto B hasta la comisaría C

$\boxed {\bold { \frac{a }{sen( \alpha) } = \frac{ c}{sen (\gamma) } }}$

$\boxed {\bold { \frac{a }{sen(27 )\° } = \frac{ 5 \ km}{sen (118)\° } }}$

$\boxed {\bold { a = \frac{ 5 \ km \ . \ sen(27 )\° }{sen (118)\° } }}$

$\boxed {\bold { a = \frac{ 5 \ km \ . \ 0,4539904997395 }{0,8829475928589 } } }$

$\boxed {\bold { a = \frac{2,2699524986975 }{0,8829475928589 } } }$

$\boxed {\bold { a \approx 2,5708\ km } } }$

$\boxed {\bold { a \approx 2,57\ km } } }$

La distancia del banco ubicado en B hasta la comisaría C es ≅ 2,57 km

Hallando la distancia del lado AB (lado b)

Distancia del banco ubicado en el punto B hasta la comisaría A

$\boxed {\bold { \frac{b}{sen ( \beta) } = \frac{ c}{sen (\gamma) } }}$

$\boxed {\bold { \frac{b}{sen ( 35\°) } = \frac{ 5 \ km }{sen (118)\° } }}$              

$\boxed {\bold { b= \frac{ 5 \ km \ .\ sen ( 35\°) }{sen (118)\° } }}$

$\boxed {\bold { b= \frac{ 5 \ km \ .\ 0,5735764363510 } {0,8829475928589 } }}$

$\boxed {\bold { b= \frac{ 2,8688218255 } {0,8829475928589 } }}$

$\boxed {\bold { b\approx 3,2491 \ km } }}$

$\boxed {\bold { b\approx 3,25 \ km } }}$

La distancia del banco ubicado en B hasta la comisaría A es ≅ 3,25 km