Question

Desde un balón de fútbol en el suelo hasta la parte superior de un árbol se forma un ángulo es de 74° 30'. Y desde allii también hay 11.98 mts hasta la base de dicho árbol. ¿Qué altura tiene el árbol?

Answer 1

La altura del árbol es de aproximadamente 43,198 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.      

Representamos la situación en un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AB que equivale a la altura del árbol, el lado BC que representa la distancia desde el balón de fútbol hasta la base del árbol y el lado AC es la proyección visual al extremo más alto del árbol con un ángulo de elevación de 74°30'

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto.

Como el ángulo de elevación está dado en grados y minutos, lo vamos a convertir a grados decimales para poder trabajar con el ángulo dado

74 representa 74°

Convertimos los 30' sabiendo que

$\boxed {\bold {1 \ minuto = \frac{1}{60} \ grados}}$

Planteando

$\boxed {\bold {74 + 30 \ . \ \frac{1}{60} }}$

$\boxed {\bold {74 + \ \frac{30}{60} }}$

$\boxed {\bold {74 + \ \frac{1}{2} }}$

$\boxed {\bold { \ \frac{74 \ . \ 2 \ + 1}{2} }}$

$\boxed {\bold { \ \frac{148 \ + 1}{2} }}$

$\boxed {\bold { \ \frac{149}{2} }}$

Convertimos la fracción a decimal dividiendo el numerador entre el denominador

$\boxed { \bold {74,5 \°}}$

Solución:

Conocemos la distancia del balón de fútbol hasta la base del árbol y de un ángulo de elevación de 74,5° (expresado en decimales)

Distancia del balón hasta la base del árbol  = 11,98 m

Ángulo de elevación = 74,5°

Debemos hallar la altura del árbol

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (lado AB) y el cateto adyacente (lado BC)

Como sabemos el valor del cateto adyacente (lado BC) que representa la distancia desde el balón hasta la base del árbol, asimismo conocemos el ángulo de elevación que se forma desde el balón hasta la cima del árbol, y se pide hallar la altura del árbol; podemos relacionar los datos que tenemos con la tangente.

Hallando la altura del árbol

$\boxed {\bold { tan (74,5)\° = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed {\bold { tan (74,5)\° = \frac{altura \ del \ \'arbol }{ \ distancia \ hasta \ la \ base } = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed {\bold {altura \ del \ \'arbol\ (AB)= \ distancia \ hasta \ la \ base \ . \ tan (74,5)\° }}$

$\boxed {\bold {altura \ del \ \'arbol\ (AB)= \ 11,98 \ metros \ . \ tan (74,5)\° }}$

$\boxed {\bold {altura \ del \ \'arbol\ (AB)= \ 11,98 \ metros \ . \ 3,6058835087608 }}$

$\boxed {\bold {altura \ del \ \'arbol\ (AB) \approx \ 43,19848 \ metros }}$

$\boxed {\bold {altura \ del \ \'arbol\ (AB) \approx \ 43,198 \ metros }}$

La altura del árbol es de aproximadamente 43,198 metros