Question

desde un avión que vuela a una altura de 4000m se observa una ciudad. si el ángulo con respecto al horizonte es de 30 grados determina que distancia se encuentra el avión de dicha ciudad ​

Answer 1

El avión se encuentra a una distancia de 4000√3 metros de la ciudad

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.  

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son aquellos determinados triángulos rectángulos que se distinguen de otros debido a que poseen determinadas características establecidas

Los triángulos notables tienen en sus vértices ángulos interiores notables siendo posible establecer una relación entre tales ángulos y las dimensiones de sus lados

Por tanto en esta clase de triángulos al poseer en sus ángulos ciertas dimensiones determinadas y pudiendo relacionar los ángulos notables con los lados del triángulo (y viceversa) se puede definir una constante de proporcionalidad

Donde las relaciones entre los lados y los ángulos permanecen constantes

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en la resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 30-60 (por sus ángulos)

• Este triángulo tiene un ángulo de 30° y otro de 60°, donde el lado opuesto al ángulo de 30° medirá 1k y el lado opuesto al ángulo de 60° medirá k√3 y la hipotenusa medirá 2k

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura a la que vuela el avión, el lado AC (b) que representa la distancia horizontal entre el avión y la ciudad y el lado AB (c) equivale a la línea visual desde el avión hasta donde se encuentra la ciudad a la que se divisa con un ángulo de depresión de 30°

Donde se pide determinar a que distancia se encuentra el avión de dicha ciudad

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se traslada el ángulo de 30° al  punto A para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en el gráfico adjunto

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Como conocemos el cateto opuesto al ángulo dado -altura a la que vuela el avión- y buscamos el valor del cateto adyacente - distancia a la que se encuentra el avión de la ciudad resolvemos nuestra incógnita mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Por tratarse de un triángulo notable en donde el ángulo notable de 30° resulta ser el lado opuesto o cateto opuesto a dicho ángulo. Podemos afirmar que para hallar la dimensión del cateto adyacente basta multiplicar el valor del cateto opuesto por √3

Por tanto si el avión vuela a 4000 metros de altura la distancia del avión a la ciudad será de 4000√3 metros

Los cálculos nos darán la razón

Hallamos a que distancia se encuentra el avión de la ciudad

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

$\boxed{\bold { tan(30^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(30^o)= \frac{ altura\ avion\ }{ distancia \ a \ ciudad } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ a \ ciudad = \frac{ altura\ avion }{ tan(30^o) } } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 30 grados es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } {3 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ a \ ciudad = \frac{4000 \ m }{ \frac{\sqrt{3} }{3} } } }$

$\boxed{\bold {distancia \ a \ ciudad =4000 \ m \ . \ \frac{3}{\sqrt{3} } } }$

$\textsf{Operamos para quitar la ra\'iz del denominador }$

$\boxed{\bold { distancia \ a \ ciudad = 4000 \ m \ . \ \frac{3}{ \sqrt{3} } \ .\ \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ a \ ciudad = 4000 \ m \ . \ \frac{3 \sqrt{3} }{( \sqrt{3})^{2} } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ a \ ciudad = 4000 \ . \ \frac{\not 3 \sqrt{3} }{\not3 } \ metros } }$

$\large\boxed{\bold {distancia \ a \ ciudad = 4000\sqrt{3} \ metros } }$

$\bold {distancia \ a \ ciudad \approx6924.2 \ metros }$

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La altura a la que vuela el avión es de 4000 metros

Y al ser el lado opuesto al ángulo notable de 30° medirá 1k

Planteamos

$\boxed{\bold {altura \ avion = 40 00 \ metros = 1k }}$

Despejamos k

$\boxed{\bold { 1k = 4000 \ metros }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{ 4000 \ metros }{1} }}$

$\boxed{\bold { k = 4000 }}$

El valor de la constante k es 4000

La distancia entre el avión y la ciudad es el cateto adyacente del ángulo notable de 30°

Por tanto mide k√3

Planteamos

$\boxed{\bold { distancia \ avion\ a \ ciudad = k \sqrt{3} }}$

Reemplazamos el valor de la constante k

$\large\boxed{\bold { distancia \ avion\ a \ ciudad = 4000 \sqrt{3} \ m }}$

Donde se arriba al mismo resultado