Question

Desde un arbol de 2m ubicado a 6m de una torre un niño observa la parte mas alta con un angulo de 53°¿cual es la altura de la torre?

Answer 1

La torre tiene una altura de 10 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.      

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

En estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad.

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en el resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 37-53 (por sus ángulos) o 3-4-5 (por sus lados)

• Este triángulo tiene un ángulo de 37° y otro de 53°, donde el lado opuesto al ángulo de 37° medirá 3k, y el lado opuesto al ángulo de 53° medirá 4k y la hipotenusa medirá 5k . En donde k es siempre una constante.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio.

Tenemos un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AC que equivale a una porción de la altura de la torre, el lado BC que representa la distancia del observador a la torre y el lado AB es la proyección visual del niño sobre el árbol a la torre con un ángulo de elevación de 53°.

La visual del niño está a 2 metros del plano horizontal. Calcularemos antes una porción de la altura de la torre.

Solución:

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos

• Distancia del observador a la torre = 6 metros

• Ángulo de elevación = 53°

• Debemos hallar la altura de la torre

Relacionamos estos datos con la tangente del ángulo

Como tenemos un triángulo notable

$\boxed {\bold{ tan (53)\° = \frac{4}{3} }}$

Planteamos

$\boxed {\bold{ tan (53)\° = \frac{cateto \ opuesto}{cateto \ adyacente} =\frac{AB}{BC} }}$

$\boxed {\bold{ tan (53)\° = \frac{porci\'on \ altura \ torre}{distancia \ a \ la \ torre} =\frac{AB}{BC} }}$

$\boxed {\bold{ porci\'on \ altura \ torre \ (AB)= distancia \ a \ la \ torre \ . \ tan (53)\° }}$

$\boxed {\bold{ porci\'on \ altura \ torre \ (AB)= 6 \ metros \ . \ tan (53)\° }}$

Si

$\boxed {\bold{ tan (53)\° = \frac{4}{3} }}$

$\boxed {\bold{ porci\'on \ altura \ torre \ (AB)= 6 \ metros \ . \ \frac{4}{3} }}$

$\boxed {\bold{ porci\'on \ altura \ torre \ (AB)= 8 \ metros }}$

La porción de altura de la torre desde donde está el niño sobre el árbol es de 8 metros

Para obtener la altura total de la torre, le debemos sumar a la porción de altura hallada la altura del árbol

$\boxed {\bold{ porci\'on \ altura \ torre \ (AB) \ + altura \ \'arbol \ (CD) }}$

Reemplazamos

$\boxed {\bold{ 8 \ metros \ + \ 2 \ metros = 10 \ metros }}$

La altura de la torre es de 10 metros  

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La distancia del observador al edificio es de 6 metros

Y al ser el lado adyacente al ángulo notable de 53° medirá 3k

Planteamos

$\boxed {\bold{ distancia \ a \ la \ torre = \ 6 \ metros = 3k }}$

Despejamos a la constante k

$\boxed {\bold{ 3k = \ 6 \ metros }}$

$\boxed {\bold{ k = \frac{ 6 \ metros }{3} }}$

$\boxed {\bold{ k = \ 2 \ }}$

El valor de la constante k es 2

Al ser este un triángulo notable  37°- 53° el cateto opuesto al ángulo de 53° -que es una porción de la altura de la torre - equivale a 4k

Planteamos

$\boxed {\bold{ porci\'on \ altura \ torre \ (AB) \ = 4k }}$

Reemplazamos el valor de la constante k

$\boxed {\bold{ porci\'on \ altura \ torre \ (AB) \ = 4 \ . \ 2 }}$

$\boxed {\bold{ porci\'on \ altura \ torre \ (AB) \ = 8 \ metros }}$

Y como explicamos antes a la porción de altura hallada le sumamos la altura del árbol

$\boxed {\bold{ porci\'on \ altura \ torre \ (AB) \ + altura \ \'arbol \ (CD) }}$

Reemplazamos

$\boxed {\bold{ 8 \ metros \ + \ 2 \ metros \ = \ 10 \ metros }}$

La altura de la torre es de 10 metros