¿Desde qué altura se debe soltar un objeto para que en el último segundo de su movimiento recorra los 5/9 de su altura total? (g = 10 m/s2).
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Origen de coordenadas abajo, positivo hacia arriba. Sea H la altura de caída.
La posición del objeto es:
y = H - 1/2 g t²
Cuando llega abajo es y = 0, luego H = 1/2 g t²
1 segundo antes se encuentra a una altura 5/9 H:
5/9 H = H - 1/2 g (t - 1)²
O bien 4/9 H = 1/2 g (t - 1)²; reemplazamos H:
4/9 . 1/2 g t² = 1/2 g (t - 1)²; cancelamos 1/2 g
4/9 t² = (t - 1)² = t² - 2 t + 1; ordenamos:
5/9 t² - 2 t + 1 = 0
Ecuación de segundo grado en t.
Resulta t = 3 s (tiempo de vuelo). La otra solución es menor que 1 s, fuera de dominio.
H = 1/2 . 10 m/s² (3 s)² = 45 m
Verificamos posición 1 segundo antes:
y = 45 m - 1/2 . 10 m/s² (2 s)² = 25 m = 5/9 . 45 m
Saludos.
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