Question

Desde los puntos A y B de una misma orilla de un río y separados entre si 12 m., se observan el pie P y la copa C de un pino, situado en la orilla opuesta. Calcular la altura del pino, sabiendo que los ángulos miden PAB=42º, PBA=37º y PAC=50º

Answer 1

 En este problema hay dos triángulos, uno está en el plano horizontal y está formado por el punto "P" en la base del pino, y los puntos de observación "A" y "B"; el otro triángulo, que es un triángulo rectángulo, está en un plano vertical formado por los puntos "P" y "C" en la base y cúspide del pino y por el punto "A" de observación. 

Para conocer la altura del pino hay que determinar cuánto mide el cateto vertical P-C (que es precisamente el pino) del triángulo APC. De este triángulo (el rectángulo del plano vertical) sólo se conoce el ángulo en el vértice "A", para conocer los demás datos necesitamos la longitud del cateto horizontal A-P. La clave de la solución está en que ese lado A-P del triángulo rectángulo vertical también es el mismo lado A-P del triángulo escaleno que está en el plano, horizontal formado por los puntos ABP, del que se conocen la longitud de un lado y los ángulos internos en cada vertice. 

Como lo dices en el enunciado de tu pregunta, aplicando la ley de los senos puede resolverse las longitudes de los lados del triángulo ABP y conocida la longitud de A-P se tiene información suficiente para resolver al triángulo rectángulo APC. 

A continuación te hago un diagrama (mejor dicho esquema) del pino y el río. No puedo dibujar las líneas inclinadas que forman los triángulos, pero viendo la localización de los puntos "A", "B", "P" y "C" tú puedes visualizar con sencillez y seguridad a los triángulos APC y ABP. 
........................."C" 
...........................! 
...........................! 
...........................! 
...........................! <--este es el pino 
...........................! 
...........................! 
...........................!"P" 
******************X****************ori... del río del lado del pino 


...50° 42° 37° 
*****X********************X*******oril... opuesta donde se hace la observación 
......."A"<----12 m.------->"B" 

Siendo: 
a,b,c, son los lados, A, B, C son los ángulos opuestos a esos lados, R el radio de la circunferencia inscrita. 

a / sen A = b / sen B = c / sen C = 2R teorema de los senos 
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A teorema de los cosenos 

El triángulo horizontal ABP tiene estos datos: 
ángulo A = 42° 
ángulo B = 37° 
ángulo P = 180 -42 -37 = 101° (la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre es 180°) 
longitud A-B (lado opuesto al ángulo P) = 12 m. 

entonces, por la ley de los senos; 
longitud A-B / sen angulo"P" = longitud A-P / sen angulo "B" 
sustituyendo: 
12 / sen 101° = A-P / sen 37° 
A-P = 12 * sen37° / sen101° = 12 * 0.6018 / 0.9816 = 7.36 m. <<=== longitud lado A-P 

Vamos ahora al triángulo rectángulo del plano vertical, uno de sus catetos (el horizontal) es el lado A-P y mide 7.36 m., otro de sus catetos (el vertical) es el lado P-C y es la altura del pino, la hipotenusa es el lado A-C que forma un ángulo de 50° con la horizontal ó sea con el lado A-P (ángulo A). El ángulo C mide, dado que el ángulo P es recto (90°): 
ángulo C = 180 - 90 - 50 = 40° 
Como es triángulo rectángulo, 
tangente del ángulo "C" = long.cateto horizontal A-P / long. cateto vertical P-C 
Long. cateto vertical P-C (altura del pino) = long. cateto A-P / tang C 
altura pino = 7.36 / tang40° = 7.36 / 0.8391 = 8.77 metros <<<===SOLUCIÓN 

Como comprobación, calculemos el cateto vertical a partir del cateto horizontal y el ángulo A 
tang A = cateto opuesto / cateto adyacente = lado P-C (altura pino) / long. A-P 
altura pino = long. A-P * tang A = 7.36 * tang50° = 7.36 * 1.1917 = 8.77 m. (comprobación)