Question

Desde lo alto de un faro se divisan dos embarcaciones ancladas en el mar y alineadas con este, con ángulos de depresión de 30° y 60° respectivamente. Si la altura del faro es de 20√3 metros, calcule la distancia de separación entre las dos embarcaciones. Haga un dibujo.

Answer 1

La distancia entre ambas embarcaciones es de 40 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo 30-60 es lo que se denomina un triángulo notable

Solución

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos. El triángulo ACD donde el lado CD equivale a la altura del faro, -donde este cateto es el mismo para ambos triángulos- , el lado AC que representa la distancia desde la base del faro hasta la embarcación más lejana - a la cual llamaremos distancia "x"-, y el lado CE que es la visual a la embarcación con un ángulo de depresión de 30°. Y el triángulo BCD el cual está conformado por el lado CD que equivale a la altura del faro, el lado CB que es la distancia desde la base del faro hasta la embarcación más cercana, -a la cual llamaremos distancia "y"- y el lado DB que es la visual a la embarcación con un ángulo de depresión de 60°

Donde se pide hallar la distancia entre ambas embarcaciones

Siendo la distancia "x" la longitud hasta la embarcación más lejana desde la base del faro

E "y" la distancia hasta la embarcación más cercana de la base del faro

Halladas las distancias "x" e "y", determinaremos la distancia entre ambas embarcaciones restando de la distancia "x" la distancia "y"

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se trasladan los ángulos de 30° y de 60° a los puntos A y B respectivamente para facilitar la situación

Esto se puede observar en el gráfico adjunto

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto opuesto -que es la altura del faro-  y conocemos los ángulos de depresión de 30° y de 60° y debemos hallar las distancias "x" e "y", - ambos catetos adyacentes- en cada uno de los triángulos rectángulos determinaremos ambas distancias mediante la razón trigonométrica tangente

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Hallamos la distancia x en ACD

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(30^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(30^o) = \frac{ altura\ faro }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ faro \ }{ tan(30^o) } } }$

El valor exacto de la tangente de 30°

$\boxed{\bold { tan(30^o) = \frac{\sqrt{3} }{3} }}$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ faro }{ \frac{\sqrt{3} }{3} } }}$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 20\sqrt{3} \ metros }{ \frac{\sqrt{3} }{3} } }}$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 20\not \sqrt{3} \ . \ { \frac{3 }{\not \sqrt{3} } } \ metros }}$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 20 \ . \ 3 \ metros } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 60 \ m } }$

La distancia x es de 60 metros

Hallamos la distancia y en BCD

$\boxed{\bold { tan(60^o)= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(60^o) = \frac{ altura\ faro }{ distancia \ y } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ altura\ faro \ }{ tan(60^o) } } }$

El valor exacto de la tangente de 60°

$\boxed{\bold { tan(60^o) = \sqrt{3} }}$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ altura\ faro \ }{ \sqrt{3} } }}$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ 20\not \sqrt{3} \ metros }{\not \sqrt{3} } }}$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 20 \ m } }$

La distancia y es de 20 metros

Hallamos la distancia entre las dos embarcaciones

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Embarcaciones = distancia \ x -\ distancia \ y } }$

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Embarcaciones= 60 \ m -\ 20 \ m } }$

$\large\boxed{\bold {Distancia \ entre \ Embarcaciones = 40\ m } }$

La distancia entre ambas embarcaciones es de 40 metros

Se agrega en archivo adjunto la resolución del problema por triángulo notable aplicando las relaciones entre los lados y sus ángulos

Se adjunta el dibujo solicitado

6065cda491fb42f7eb17d91a0c92e4bf.docx