Question

Desde lo alto de un faro, se divisan dos barcos a un mismo lado del faro, con ángulos de depresión de 45° y 37°. S i la altura del faro es 96m. ¿Cuál será la distancia entre ambos barcos?

Answer 1

La distancia entre los dos barcos es de 32 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde los triángulos dados de 37-53 y de 45-45 resultan ser lo que se denomina triángulo notable

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El triángulo ACD: el cual está conformado por el lado CD que equivale a la altura del faro, -donde este cateto es el mismo para ambos triángulos- , el lado AC que representa la distancia desde la base del faro hasta el barco más lejano, -donde no conocemos esta longitud a la cual llamaremos distancia "x"-, y el lado AD que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en lo alto del faro- hasta una embarcación, la cual es vista con un ángulo de depresión de 37°

Y el triángulo BCD: el cual está configurado por el lado CD que equivale a la altura del faro, el lado CB que es la distancia desde la base del faro hasta el barco más cercano, -de la que no conocemos su magnitud a la cual llamaremos distancia "y"- y el lado DB que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en lo alto del faro- hasta la otra embarcación, la cual es vista con un ángulo de depresión de 45°

Donde se pide hallar la distancia entre ambos barcos

Siendo la distancia "x" la longitud hasta la embarcación más lejana desde la base del faro

E "y" la distancia hasta la embarcación más cercana de la base del faro

Halladas las distancias "x" e "y", determinaremos la distancia entre ambos barcos restando de la distancia "x" la distancia "y"

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se trasladan los ángulos de depresión de 37° y de 45° a los puntos A y B respectivamente para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en el gráfico adjunto

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Como sabemos el valor del cateto opuesto a los ángulos dados -que es la altura del faro- y conocemos los ángulos de depresión de 37° y de 45° y debemos hallar las distancias "x" e "y", - ambos catetos adyacentes- en cada uno de los triángulos rectángulos determinaremos ambas distancias mediante la razón trigonométrica tangente de los respectivos ángulos de depresión

Razones trigonométricas con ángulos notables

En el triángulo ACD

Hallamos la distancia "x" -distancia hasta el barco más lejano-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha =37^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(37^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(37^o) = \frac{ altura\ faro }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ faro \ }{ tan(37^o) } } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 37 grados es } \bold {\frac{ 3 } {4 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 96 \ m \ }{ \frac{3}{4} } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 96 \ m \ \ . \ \frac{4}{3} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{384 }{3} \ m } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 128 \ metros } }$

Luego la distancia x - hasta el barco más lejano- es de 128 metros

En el triángulo BCD

Hallamos la distancia "y" -distancia hasta el barco más cercano-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo  β  $\bold{\beta = 45^o}$

Como el triángulo es notable y de 45° los 2 catetos miden lo mismo, pudiendo aseverar que la distancia hasta el barco más cercano será igual que la altura del faro

Los cálculos nos darán la razón

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(45^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(45^o) = \frac{ altura\ faro }{ distancia \ y } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ altura\ faro \ }{ tan(45^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ 96 \ m \ }{ 1 } } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 96 \ metros } }$

Por tanto la distancia y - hasta el barco más cercano- es de 96 metros

Hallamos la distancia entre los dos barcos

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Barcos = distancia \ x -\ distancia \ y } }$

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Barcos= 128 \ m -\ 96 \ m } }$

$\large\boxed{\bold {Distancia \ entre \ Barcos = 32 \ metros } }$

La distancia entre los dos barcos es de 32 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto